In matematica, un'algebra di Lie si dice semisemplice se è somma diretta di algebre di Lie semplici, ovvero di algebre di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ non abeliane e i cui unici ideali sono 0 e ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ stesso.

Equivalentemente, un'algebra di Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ è semisemplice se e solo se:

• La sua forma di Killing è non degenere.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ non ha ideali abeliani diversi da 0.
• ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ non ha ideali risolubili diversi da 0.
• Il radicale di ${\displaystyle {\mathfrak {g))}$ è 0.

• Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
• Nicolas Bourbaki, VIII: Split Semi-simple Lie Algebras, in Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7–9, 2005.
• Karin Erdmann e Mark Wildon, Introduction to Lie Algebras, 1st, Springer, 2006, ISBN 1-84628-040-0.
• James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-0-387-90053-7.
• V. S. Varadarajan, Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st, Springer, 2004, ISBN 0-387-90969-9.

• Algebra di Lie
• Criterio di Cartan

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