Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai atau ,[1][2][3] adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) . Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,
- .
Lebih eksplisit lagi, jika , kemudian
Jika adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi , maka untuk setiap fungsi periodik dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif . Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː
Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit
Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː [4]
Pilihan dengan suku konstanta
Seringkali, konstanta pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.
Misalnya
Maka, konstanta diperbaiki dengan kondisi
atau
Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː
atau dengan 1
- .[6]
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː
Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:
Penggunaan alternatif
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan dimana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.
Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup untuk penjumlahan adalah solusi untuk
disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur . Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.
Daftar jumlah tak tentu
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.
Antiselisih pada Fungsi rasional
- dimana , yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.
- dimana adalah fungsi poligamma .
- dimana adalah fungsi digamma.
Antiselisih pada Fungsi eksponensial
Terutama,
Antiselisih pada fungsi logaritma
Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik
- dimana adalah fungsi q-digamma .
Antiselisih pada fungsi trigonometri
- dimana adalah fungsi q-digamma .
Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik
Antiselisih pada fungsi invers trigonometri
Antiselisih pada fungsi khusus
- dimana adalah fungsi gamma tidak kompleks.
- dimana adalah faktorial menurun .
- (lihat fungsi eksponensial super)