Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$.

Fungsi karakteristik ${\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\))$ untuk himpunan ${\displaystyle A\subseteq X}$ adalah

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases)).}$

Suatu fungsi ${\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }$ tersebut fungsi sederhana, jika

${\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i))}$

untuk ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma }$ dan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana ${\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i))}$ sebagai

${\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).}$

Misalnya ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ))}$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana ${\displaystyle {\mathcal {B))(\mathbb {R} )}$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, ))0\leq \phi \leq f\right\}.}$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]}$.

Misalnya ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ))}$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif ${\displaystyle f^{+))$ dan ${\displaystyle f^{-))$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai ${\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\))$ dan ${\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\))$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-))$ dan ${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-))$.

Jika ${\displaystyle \int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty }$ dan ${\displaystyle \int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty }$, maka ${\displaystyle f}$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .}$

Jelas, ${\displaystyle f}$ terintegralkan jika dan hanya jika ${\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty }$.

• Integral itu linear, yaitu jika ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ dan ${\displaystyle f,g}$ fungsi terintegralkan, maka ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ juga terintegralkan dengan

${\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .}$

• Integral itu monoton, yaitu jika ${\displaystyle f,g}$ fungsi terintegralkan dan ${\displaystyle f\leq g}$, maka

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$