Dalam matematika, identitas Sophie Germain adalah faktorisasi polinomial yang dinamai dari Sophie Germain. Identitas ini mengatakan bahwa
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(x-y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eaf7a29d4cb17a61b8e17dfe174eb322d898de0)
Selain penerapannya di dalam aljabar elementer, identitas ini juga dapat digunakan dalam teori bilangan untuk memfaktorkan bilangan bulat dari bentuk khusus
, dan sering kali membentuk basis permasalahan di dalam kompetisi matematika.[1][2][3]
Penerapannya ke faktorisasi bilangan bulat
Suatu akibat dari identitas Germain adalah bahwa bilangan dengan bentuk
![{\displaystyle n^{4}+4^{n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca04da48fc05baeb03c03752c99c7cd0d3eca005)
tidak dapat berupa bilangan prima untuk
. (Untuk
, hasilnya memberikan bilangan prima 5.) Bilangan dengan bentuk tersebut tidak menghasilkan bilangan prima jika
adalah bilangan genap, dan jika
bilangan ganjil maka bilangan tersebut mempunyai faktorisasi yang diberikan oleh identitas dengan
dan
.[3][7] Bilangan-bilangan tersebut (diawali dari
) membentuk barisan bilangan bulat
1, 5, 32, 145, 512, 1649, 5392, 18785, 69632, ... (barisan
A001589 pada
OEIS).
Banyaknya kemunculan identitas Sophie Germain dalam kompetisi matematika berasal dari korolari.[2][3]
Adapun kasus istimewa dari identitas dengan
dan
dapat digunakan untuk menghasilkan faktorisasi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2fde9cd5b289949f9aa3385513f0d7fb34bc57)
dengan
adalah polinomial siklotomik keempat. Sama halnya dengan polinomial siklotomik untuk lebih umum,
adalah polinomial tak tereduksi, sehingga faktorisasi dari tak berhingganya nilainya ini tak dapat diperluas ke faktorisasi dari
sebagai suatu polinomial. Karena itu, faktorisasi ini merupakan contoh dari faktorisasi aurifeuillean.[8]
Perumuman
Identitas Germain telah diperumum ke persamaan fungsional
![{\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(x-y)+f(y){\bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca36b0d862b886cfb748ac8a55306ddb64474be)
Menurut identitas Sophie Germain, fungsi kuadrat memenuhi persamaan fungsional di atas.[4]