Elipsa je zatvorena krivulja u ravnini, jedna od čunosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se zbroj udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.^[1]

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, i duljinu 2a na kojoj su simetrično odabrane točke F₁ i F₂ uz uvjet ${\displaystyle 2a>d(\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2})}$, tada elipsom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je zbroj udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednak 2a.

Elipsa je određena dvjema poluosima: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definira se njenim ekscentricitetom ili eliptičnošću e.

Parametri

Smjestimo li središte elipse u središte koordinatnog sustava, tada udaljenost |OF₁| = |OF₂| nazivamo linearnim ekscentricitetom elipse e. Numerički ekscentricitet elipse određen je kao

${\displaystyle \varepsilon \,={\frac {e}{a))<1}$

Elipsa je određena velikom poluosi i ekscentritetom, ili velikom i malom poluosi gdje vrijedi

${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2))))$

i

${\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-e^{2))))$

Jednadžba elipse

Jednadžba elipse sa središtem u S(0, 0)

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava i poluosima a i b određena je tzv. kanonskom jednadžbom

${\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,}$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\displaystyle ((\frac {x^{2)){a^{2))}+{\frac {y^{2)){b^{2))))=1}$

Jednadžba elipse sa središtem u S(p, q)

Elipsa sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q) i poluosima a i b određena je jednadžbom

${\displaystyle b^{2}(x-p)^{2}+a^{2}(y-q)^{2}=a^{2}b^{2}\,}$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\displaystyle {\frac {(x-p)^{2)){a^{2))}+{\frac {(y-q)^{2)){b^{2))}=1}$

Tangenta elipse

Tangenta elipse sa središtem u S(0, 0)

Tangenta elipse koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom ${\displaystyle \mathrm {T} (x_{0},y_{0})}$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

${\displaystyle 2b^{2}xdx+2a^{2}ydx=0}$

odakle slijedi da je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx))=\operatorname {tg} \alpha =-((\frac {b^{2)){a^{2))}{\frac {x_{0)){y_{0))))}$

gdje je α kut između tangente i apscise, te da je jednadžba tangente na elipsu

${\displaystyle y-y_{0}=-{\frac {b^{2)){a^{2))}{\frac {x_{0)){y_{0))}(x-x_{0})}$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžba tangente elipse

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2))}+{\frac {y_{0}y}{b^{2))}=1}$

Tangenta elipse sa središtem u S(p, q)

Tangenta elipse koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ na elipsi određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu elipse nalazimo da je

${\displaystyle {2b^{2}(x-p)dx+2a^{2}(y-q)dy}=0\,}$

odakle slijedi da je je

${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx))=\operatorname {tg} \alpha =-{\frac {b^{2)){a^{2))}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q))}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente elipse

${\displaystyle y-y_{0}=-{\frac {b^{2)){a^{2))}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q))(x-x_{0})}$

Vidi također

• Ekscentricitet
• Prvi Keplerov zakon

Izvori