Cassinijev identitet je jednakost u elementarnoj teoriji brojeva koja povezuje uzastopnu trojku Fibonaccijevog niza.
Identitet je 1680. otkrio poznati talijanski matematičar Giovanni Domenico Cassini (1635. – 1712.), a dokazao ga je škotski matematičar Robert Simson (1687. – 1768.) i to 1753. godine.
Podsjetimo se da Fibonaccijev niz glasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... U tom je nizu svaki član, počevši od trećeg, suma svoja dva neposredna prethodnika. Dakle, vrijedi
Cassinijev identitet tvrdi:
[1]
Ono što se uočava prvo je da vrijedi
pa vidimo da Cassinijev identitet opisuje svojevrsnu "ravnotežu" među ova dva umnoška. Ipak, nije odmah očito da se
razlikuju točno za 1 pa ćemo ovaj teorem ispod i dokazati.
Ovaj se identitet lako može dokazati metodom matematičke indukcije pa ćemo to na ovom mjestu i učiniti.
Vidimo da, u ovisnosti o parnosti broja
, izraz
u formuli redom varira:
Provjerimo sada identitet za prvu trojku
Zaista, vrijedi
Prema tome,
(1) vrijedi za barem jedan broj,
Sada prijeđimo na iduću trojku te konstruirajmo dva umnoška,
te
dokazat ćemo da su jednaka.
Slijedi niz jednostavnih jednakosti (transformacija):
Sada koristimo (1):
i konačno dobivamo
odnosno
što upravo daje
Za sada smo dokazali Cassinijev identitet polovično, a barem za dvije trojke:
te
Dakle, nije očito da iz
u
opet ciklički slijedi
Ako to dokažemo, postupak će se ciklički ponavljati i bit ćemo gotovi.
Zato uzmimo iduću trojku
Slično kao i prije, konstruirajmo dva umnoška
Opet, slijedi niz jednakosti:
Sada dobivamo
pa je konačno
što je i trebalo pokazati.