U matematici, binomni koeficijent je pozitivni cijeli broj, koji se pojavljuje kao koeficijentbinomnog poučka. Indeksira se dvama ne-negativnim cijelim brojevima; binomni koeficijent s indeksima n i k obično se zapisuje kao:
i čita se n iznad ili povrh k. To je koeficijent člana polinomne ekspanzije binomne potencije oblika . Pod odgovarajućim okolnostima vrijednost koeficijenta definirana je izrazom:
Organizacija binomnih koeficijenata u redove uzastopnih vrijednosti n, u kojem k ima vrijednosti od 0 do n, daje Pascalov trokut.
Binomni koeficijenti su važan dio mnogih područja matematike, posebno u području kombinatorike.
Oznaka predstavlja broj -članih podskupova -članog skupa, uz napomenu da, prema definiciji skupa, nikoja dva elementa nekog skupa nisu jednaka. Kako za svaki podskup od elemenata postoji točno jedan poskup od preostalih elemenata slijedi da vrijedi bijekcija između ova dva skupa odnosno da su oni ekvipotentni ili jednakobrojni.
Osnovna relacija iz Pascalovog trokuta[1]:20 ili tzv. Pascalovo pravilo:
Kombinatorni dokaz.
Neka tražimo broj -članih skupova od prvih prirodnih brojeva ().
Neka je skup svih takvih -članih podskupova -članog skupa. Vrijedi .
Izaberimo neki element iz . Neka je skup podskupova iz koji sadrže . Njih ima jer preostalih brojeva iz (ne možemo opet birati jer je očito već sadržan u tim podskupovima) raspoređujemo na preostalih mjesto. Neka je pak s druge strane skup podskupova iz koji ne sadrže . Ima ih jer sada raspoređujemo sve elemente iz osim elementa , njih , na svih mjesta jer na nijednom mjestu nije element