Na Matemática, dados dous conxuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto directo) dos dous conxuntos (escrito como X × Y) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y.
O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.
Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa
e o Y é o dos catro paus:
entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:
Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (x,y), onde x e y son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano ). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.
O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:
O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:
ou intuitivamente (X1 × ... × Xn-1) × Xn.
Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos:
o conxunto M con dous elementos:
e o conxunto N con 2 elementos:
o produto cartesiano L × M × N é:
Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións .
Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:
Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como .
A observación de que a estrutura do produto cartesiano ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe X suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.
Sexa un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa un conxunto definido para cada índice (poden ser iguais ou non). Entón o produto destes conxuntos é definido por:
Sexa , ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa . Entón é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.
As funcións máis importantes que teñen como dominio un produto cartesiano son as proxeccións canónicas.
No caso finito, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna a i-ésima coordenada.
Ou sexa:
No caso infinito, como cada elemento de é unha función, temos que:
Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo: