En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble image est égal à l'ensemble d'arrivée.
Il est possible d'appliquer l'adjectif « surjectif » à une fonction (voire à une correspondance) dont le domaine de définition n'est pas tout l'ensemble de départ, mais en général le terme « surjection » est réservé aux applications (qui sont définies sur tout leur ensemble de départ), auxquelles nous nous limiterons dans cet article (pour plus de détails, voir le paragraphe « Fonction et application » de l'article « Application »).
Pour désigner les ensembles de départ et d'arrivée d'une surjection, il est usuel de dire « de A sur B » au lieu de « de A dans B » comme pour une application en général.
Dans le cas d'une fonction réelle d'une variable réelle, sa surjectivité est équivalente au fait que son graphe intersecte toute droite parallèle à l'axe des abscisses.
Une application qui est à la fois surjective et injective est une bijection.
Une application f de X dans Y est dite surjective si pour tout élément y de Y, il existe au moins un élément x de X tel que y = f(x), ce qui s'écrit formellement :
On considère le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble X des touristes vers l'ensemble Y des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).
La fonction définie par
n'est pas surjective car certains réels ne possèdent pas d'antécédent. Par exemple, il n'y a pas de réel x tel que f(x) = −4. Mais si on change la définition de f en donnant comme ensemble d'arrivée ℝ+,
alors elle le devient car chaque réel positif possède au moins un antécédent : 0 possède exactement un antécédent, 0, et tous les réels y strictement positifs en possèdent deux, la racine carrée de y et son opposé.
La fonction définie par
est surjective puisque, pour tout réel arbitraire y, il existe des solutions à l'équation y = 2x + 1 d'inconnue x ; une solution est x = (y − 1) / 2.
La fonction définie par
n'est pas surjective car les réels strictement plus grands que 1 ou strictement plus petits que –1 n'ont pas d'antécédent. Mais la fonction définie par
qui possède la même expression que g, mais avec un ensemble d'arrivée qui a été restreint à l'ensemble des réels compris entre –1 et 1, est surjective. En effet, pour tout réel arbitraire y de l'intervalle [–1, 1], il existe des solutions à l'équation y = cos(x) d'inconnue x : ce sont les réels x = ±arccos(y) + 2kπ pour tout entier relatif k.
Sur ces quelques exemples, on voit qu'il est toujours possible de transformer une application non surjective en une surjection à condition de restreindre son ensemble d'arrivée.
Si f est une application de X dans Y et Im(f) = f(X) son ensemble image (c'est-à-dire l'ensemble des images par f des éléments de X), alors l'application
est une surjection.
En d'autres termes, si f est corestreinte à Im(f), c'est-à-dire si on remplace son ensemble d'arrivée par son ensemble image, elle devient surjective.
Toute application f peut être décomposée comme f = i∘s où s est une surjection et i une injection. Cette décomposition est unique à un isomorphisme près. Une décomposition est fournie dans le paragraphe détaillé. Une autre (équivalente) est de choisir pour s la surjection définie ci-dessus, et pour i l'injection canonique de l'image de f dans son ensemble d'arrivée.
Pour toute application f : X → Y, les quatre propriétés suivantes sont équivalentes[1] :
Soit f une application de X dans Y.
Soit f une application de X dans Y. Si f est « inversible à droite », c'est-à-dire[2] s'il existe une application g de Y dans X telle que la fonction composée f∘g soit égale à l'application identité sur Y, alors f est surjective (d'après une propriété vue plus haut).
Une telle application g est appelée une section, ou inverse à droite[3] de f. Elle est nécessairement injective.
Réciproquement, si f est surjective alors elle admet une section. Cette propriété s'appuie sur le fait que l'on peut toujours « remonter les flèches » de Y vers X . Elle est toujours vraie si Y est fini. L'affirmation[4] qu'elle est vraie pour tout ensemble Y est équivalente à l'axiome du choix[5].
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Le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments sur un ensemble à p éléments est égal à :
où est le nombre de Stirling de seconde espèce.
Ceci peut se démontrer par la formule d'inversion de Pascal, ou le principe d'inclusion-exclusion.