Quelques ovales de Cassini. Les foyers sont (-1, 0) et (1, 0). En mathématiques , un ovale de Cassini est un ensemble de points du plan tel que le produit des distances de chaque point P de l'ovale à deux autres points fixés P 1 et P 2 est constant, c’est-à-dire de telle sorte que le produit
P
1
P
×
P
2
P
(
=
b
2
)
{\displaystyle P_{1}P\times P_{2}P\,(=b^{2})\,}
soit constant. Les points P 1 et P 2 sont appelés les foyers de l'ovale.
Les ovales de Cassini portent le nom de Giovanni Domenico Cassini .
Si l'on note b 2 le produit constant qui précède, et a la demi-distance entre les foyers,
la forme de l'ovale dépend du rapport b /a .
Si b /a est plus grand que 1, le lieu est une boucle simple et continue.
Si b /a est plus petit que 1, le lieu est composé de deux boucles non sécantes.
Si b /a est égal à 1, le lieu est une lemniscate de Bernoulli . Si les foyers des ovales sont de coordonnées (a , 0) et (−a , 0), l'équation de la courbe est donnée par
(
(
x
−
a
)
2
+
y
2
)
(
(
x
+
a
)
2
+
y
2
)
=
b
4
.
{\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,}
Ou, en coordonnées polaires :
r
4
−
2
a
2
r
2
cos
2
θ
=
b
4
−
a
4
.
{\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,}
Les hyperboles équilatères (en noir) admettent comme trajectoires orthogonales des ovales de Cassini (ici, a = 1) Les ovales de Cassini sont les trajectoires orthogonales aux hyperboles équilatères de centre (0, 0) et passant par le point (1, 0).
En effet, l'équation de cette famille d'hyperboles est
y
2
−
x
2
+
λ
x
y
+
1
=
0
,
λ
∈
R
.
{\displaystyle y^{2}-x^{2}+\lambda xy+1=0,\,\lambda \in \mathbb {R} .}
Elle est solution de l'équation différentielle :
(
x
2
+
y
2
+
1
)
y
d
x
−
(
x
2
+
y
2
−
1
)
x
d
y
=
0.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+1)y\,dx-(x^{2}+y^{2}-1)x\,dy=0.}
Ce qui donne l'équation différentielle des trajectoires orthogonales :
(
x
2
+
y
2
+
1
)
y
d
y
+
(
x
2
+
y
2
−
1
)
x
d
x
=
0
=
d
(
1
4
(
x
2
+
y
2
)
2
−
x
2
2
+
y
2
2
)
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+1)y\,dy+(x^{2}+y^{2}-1)x\,dx=0=d\left({\frac {1}{4))(x^{2}+y^{2})^{2}-{\frac {x^{2)){2))+{\frac {y^{2)){2))\right).}
Les trajectoires orthogonales sont donc d'équation
(
x
2
+
y
2
)
2
−
2
x
2
+
2
y
2
=
μ
,
μ
∈
R
,
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}+2y^{2}=\mu ,\,\mu \in \mathbb {R} ,}
et on retrouve bien l'équation des ovales de Cassini.
Ovales de Cassini comme sections planes d'un tore (le tore de droite est à trou nul). On obtient des ovales de Cassini par intersection d'un tore par un plan parallèle à son axe et à une distance égale au rayon du cercle générateur.
On peut faire de même avec plus de deux foyers, ou plus de deux dimensions.
Par exemple, un ovale de Cassini à n foyers est l'ensemble des points P vérifiant :
P
1
P
×
P
2
P
×
⋯
×
P
n
P
=
b
n
{\displaystyle P_{1}P\times P_{2}P\times \cdots \times P_{n}P=b^{n))
Cette définition s'étend naturellement à l'espace, ce qui définit une surface implicite .
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