En arithmétique géométrique , un nombre polytopique , ou nombre hyperpolyédrique, est un nombre figuré comptant des points disposés régulièrement dans un polytope , ou hyperpolyèdre.
Pour un polytope de dimension
k
{\displaystyle k}
possédant, pour
0
⩽
i
⩽
k
{\displaystyle 0\leqslant i\leqslant k}
,
N
i
{\displaystyle N_{i))
cellules de dimension
i
{\displaystyle i}
qui sont toutes des polytopes équivalents (
N
0
=
S
,
N
1
=
A
{\displaystyle N_{0}=S,N_{1}=A}
) le nombre de points ajoutés à l'étape
n
{\displaystyle n}
est
P
(
n
)
−
P
(
n
−
1
)
=
∑
i
=
0
k
(
N
i
−
D
i
)
P
n
,
i
∗
=
S
−
1
+
(
A
−
D
1
)
(
n
−
2
)
+
⋯
+
(
N
k
−
D
k
)
P
n
,
k
∗
{\displaystyle P(n)-P(n-1)=\sum _{i=0}^{k}(N_{i}-D_{i})P_{n,i}^{*}=S-1+(A-D_{1})(n-2)+\cdots +(N_{k}-D_{k})P_{n,k}^{*))
où
D
i
{\displaystyle D_{i))
est le nombre, constant, de cellules de dimension
i
{\displaystyle i}
aboutissant à un sommet, et
P
n
,
i
∗
{\displaystyle P_{n,i}^{*))
le nombre polytopique d'ordre
n
{\displaystyle n}
associé aux cellules de dimension
i
{\displaystyle i}
, auquel on retranche le nombre de points situés sur leur frontière[ 1] .
Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe , polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le
n
{\displaystyle n}
-ième nombre
k
{\displaystyle k}
-simplicial ou hypertétraédrique de dimension
k
{\displaystyle k}
[ 1] est le nombre de points d'un
k
{\displaystyle k}
-simplexe dont les arêtes comportent
n
{\displaystyle n}
points. On l'obtient comme somme des nombres
(
k
−
1
)
{\displaystyle (k-1)}
-simpliciaux d'indices 1 à
n
{\displaystyle n}
,
∀
n
∈
N
∗
S
k
(
n
)
=
S
k
−
1
(
1
)
+
S
k
−
1
(
2
)
+
⋯
+
S
k
−
1
(
n
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=S_{k-1}(1)+S_{k-1}(2)+\cdots +S_{k-1}(n)}
.Partant de
S
1
(
n
)
=
n
=
(
n
1
)
{\displaystyle S_{1}(n)=n={\binom {n}{1))}
, on obtient par récurrence, grâce à la formule d'itération de Pascal , de le calculer par récurrence :
∀
n
∈
N
∗
S
k
(
n
)
=
(
n
+
k
−
1
k
)
=
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
k
!
=
n
k
¯
k
!
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)={\binom {n+k-1}{k))=((n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!))={\frac {n^{\overline {k))}{k!))}
où
k
!
{\displaystyle k!}
est la factorielle de
k
{\displaystyle k}
,
(
n
k
)
=
C
n
k
{\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k))
est un coefficient binomial , et
n
k
¯
{\displaystyle n^{\overline {k))}
une factorielle croissante .
Triangle de Pascal avec indication des nombres hypertétraédriques. Les nombres
k
{\displaystyle k}
-simpliciaux constituent donc la
(
k
+
1
)
{\displaystyle (k+1)}
-ième colonne du triangle de Pascal . Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
S
1
(
n
)
=
n
{\displaystyle S_{1}(n)=n}
(nombres linéaires)
S
2
(
n
)
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2))}
, nombres triangulaires , suite A000217 de l'OEIS
S
3
(
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
6
{\displaystyle S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))}
, nombres tétraédriques , suite A000292 de l'OEIS
S
4
(
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
24
{\displaystyle S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24))}
, nombres pentatopiques , suite A000332 de l'OEIS
S
5
(
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
120
{\displaystyle S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120))}
, suite A000389 de l'OEIS
S
6
(
n
)
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
720
{\displaystyle S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720))}
, suite A000579 de l'OEIS .Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hypercube , polytope généralisant le carré et le cube. Le
n
{\displaystyle n}
-ième nombre
k
{\displaystyle k}
- hypertétraédrique ou hypertétraédrique de dimension
k
{\displaystyle k}
est le nombre de points d'un hypercube dont les arêtes comportent
n
{\displaystyle n}
points. Il est égal à la puissance parfaite
C
k
(
n
)
=
n
k
{\displaystyle C_{k}(n)=n^{k))
.
Ce sont des nombres figurés comptant des points répartis dans un hyperoctaèdre , polytope généralisant le carré et l'octaèdre. Le
n
{\displaystyle n}
-ième nombre
k
{\displaystyle k}
- hyperoctaédrique ou hyperoctaédrique de dimension
k
{\displaystyle k}
est le nombre de points d'un hyperoctaèdre dont les arêtes comportent
n
{\displaystyle n}
points. Il est égal à
O
k
(
n
)
=
∑
i
=
0
k
−
1
(
k
−
1
i
)
(
n
+
i
k
)
{\displaystyle O_{k}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{\binom {k-1}{i)){\binom {n+i}{k))}
[ 1] , [ 2] .
Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :
O
1
(
n
)
=
n
{\displaystyle O_{1}(n)=n}
(nombres linéaires)
O
2
(
n
)
=
(
n
2
)
+
(
n
+
1
2
)
=
n
2
{\displaystyle O_{2}(n)={\binom {n}{2))+{\binom {n+1}{2))=n^{2))
, nombres carrés : 1, 4, 9, 16, 25, ..., suite A000290 de l'OEIS
O
3
(
n
)
=
(
n
3
)
+
2
(
n
+
1
3
)
+
(
n
+
2
3
)
=
n
(
2
n
2
+
1
)
3
{\displaystyle O_{3}(n)={\binom {n}{3))+2{\binom {n+1}{3))+{\binom {n+2}{3))={n(2n^{2}+1) \over 3))
, nombres octaédriques : 1, 6, 19, 44, 85, ..., suite A005900 de l'OEIS
O
4
(
n
)
=
(
n
4
)
+
3
(
n
+
1
4
)
+
3
(
n
+
2
4
)
+
(
n
+
3
4
)
=
n
2
(
n
2
+
2
)
3
{\displaystyle O_{4}(n)={\binom {n}{4))+3{\binom {n+1}{4))+3{\binom {n+2}{4))+{\binom {n+3}{4))={n^{2}(n^{2}+2) \over 3))
, nombres 4-hyperoctaédriques : 1, 8, 33, 96, 225, ..., suite A014820 de l'OEIS
O
5
(
n
)
=
n
(
2
n
4
+
10
n
2
+
3
)
15
{\displaystyle O_{5}(n)={\frac {n(2n^{4}+10n^{2}+3)}{15))}
, nombres 5-hyperoctaédriques : 1, 10, 51, 180, 501, ..., suite A069038 de l'OEIS
O
6
(
n
)
=
n
2
(
2
n
4
+
20
n
2
+
23
)
45
{\displaystyle O_{6}(n)={\frac {n^{2}(2n^{4}+20n^{2}+23)}{45))}
, nombres 6-hyperoctaédriques : 1, 12, 73, 304, 985, ..., suite A069039 de l'OEIS .La suite double
(
O
k
(
n
)
)
{\displaystyle (O_{k}(n))}
est répertoriée, avec inversion de
k
{\displaystyle k}
et
n
{\displaystyle n}
, comme suite A142978 de l'OEIS .
Elle peut être définie par récurrence par :
{
O
k
(
1
)
=
1
,
O
1
(
n
)
=
n
,
O
k
(
n
)
=
O
k
(
n
−
1
)
+
O
k
−
1
(
n
−
1
)
+
O
k
−
1
(
n
)
,
pour
2
⩽
k
⩽
n
{\displaystyle {\begin{cases}O_{k}(1)=1,O_{1}(n)=n,&\\O_{k}(n)=O_{k}(n-1)+O_{k-1}(n-1)+O_{k-1}(n),&{\text{pour ))2\leqslant k\leqslant n\end{cases))}
.
Ceci permet de construire facilement le triangle de ces nombres, les suites
(
O
k
(
n
)
)
n
{\displaystyle (O_{k}(n))_{n))
se lisant dans les diagonales descendantes :
1
1 2
1 4 3
1 6 9 4
1 8 19 16 5
1 10 33 44 25 6
1 12 51 96 85 36 7
Le triangle de Delannoy a la même définition, sauf que les deux bordures sont remplies de 1.
Il existe de plus une formule de symétrie :
k
O
k
(
n
)
=
n
O
n
(
k
)
{\displaystyle kO_{k}(n)=nO_{n}(k)}
.
Pour les nombres hyperdodécaédriques ou hécatonicosachoriques, les nombres hypericosaédriques ou hexacosichoriques et les nombres hypergranatoédriques ou icositétrachoriques :
↑ a b et c (en) Elena Deza et Michel Deza , Figurate Numbers , Singapour, World Scientific Publishing , 2012 , 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3 , lire en ligne ) , p. 186, 194, 200
↑ (en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY , vol. 131, no 1, 2002 , p. 73 (lire en ligne )
Bidimensionnel
Tridimensionnel
Quadridimensionnel
Multidimensionnel