En mathématiques, un graphe de Cayley (du nom d'Arthur Cayley) est un graphe qui encode la structure d'un groupe. C'est un outil important pour l'étude de la combinatoire et de la géométrie des groupes.
Familles de graphes définies par leurs automorphismes | ||||
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distance-transitif | → | distance-régulier | ← | fortement régulier |
↓ | ||||
symétrique (arc-transitif) | ← | t-transitif, (t ≥ 2) | symétrique gauche (en) | |
↓ | ||||
(si connexe) sommet-transitif et arête-transitif |
→ | régulier et arête-transitif | → | arête-transitif |
↓ | ↓ | ↓ | ||
sommet-transitif | → | régulier | → | (si biparti) birégulier |
↑ | ||||
graphe de Cayley | ← | zéro-symétrique | asymétrique |
Étant donné un groupe et une partie génératrice de ce groupe, le graphe de Cayley Cay(G,S) est construit comme suit :
On peut aussi associer à chaque générateur une direction plutôt qu'une couleur, mais il est alors parfois impossible de représenter le graphe dans le plan. Dans certains contextes, on utilise la multiplication à gauche plutôt qu'à droite (les arêtes vont alors de à ).
Le graphe de Cayley du groupe libre à deux générateurs est représenté en haut à droite de la page. ( est l'élément neutre). Un pas vers la droite correspond à une multiplication par , vers la gauche par , vers le haut par et vers le bas. Comme il n'y a pas de relations dans le groupe libre (par définition), son graphe de Cayley est acyclique.
À droite se trouve un dessin du graphe de Cayley d'un groupe d'ordre 18 avec présentation . Il est engendré par trois éléments d'ordre 2, qui sont donc représentés par des arêtes non-orientées de trois couleurs différentes; chaque sommet est lié à une arête de chaque couleur. En suivant les arêtes on peut vérifier que les autres relations sont satisfaites. Si par exemple pour les générateurs x, y, et z on choisit respectivement les couleurs rouge, vert, et bleu (mais peu importe, la présentation est parfaitement symétrique), on voit que, partant d'un sommet quelconque, la suite rouge-vert-rouge-vert-rouge-vert nous remet à notre point de départ (alors (xy)3 = 1), et aussi la suite rouge-vert-bleu-rouge-vert-bleu (alors (xyz)2 = 1).
(en) Eric W. Weisstein, « Cayley Graph », sur MathWorld