En mathématiques, la formule de Baker-Campbell (en)-Hausdorff est la solution Z de l'équation :
![{\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e8944b2ade0c24fb43b31856749bc80354bc5a)
où
,
et
sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
Expression
Avec les crochets de Lie, elle s'écrit[1] :
![{\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2))[X,Y]+{\frac {1}{12))([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878c1cce2ea7187549010e07eed4ab385ed7f5b2)
Une formule reliée est la formule de Zassenhaus:
En particulier lorsque
et
commutent nous avons
Lorsque
et
commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire
) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber :
. Elle est souvent appliquée en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion
,
.