En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.
Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?
Définition (fonction harmonique) — Soit un ouvert non vide de et une fonction deux fois différentiable sur . On dit que est harmonique sur si pour tout :
où désigne l'opérateur laplacien, c'est-à-dire,
L'équation est appelée équation de Laplace. Une fonction harmonique est donc, par définition, une solution de cette équation.
Une fonction harmonique est nécessairement infiniment différentiable. En fait elle est même développable en série entière[3].
Théorème (harmonique implique analytique) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert . Alors pour tout il existe et des coefficients réels pour tout multi-indice tels que et pour tout :
En particulier est .
Précisons qu'un multi-indice est un n-uplet et que pour on note . Pour que la somme apparaissant dans le résultat précédent fasse sens, il est implicitement supposé que la famille est sommable.
Une limite uniforme sur tout compact d'une suite de fonctions harmoniques est harmonique, de plus les différentielles convergent aussi. Plus précisément[4]
Théorème (convergence) — Soit une suite de fonctions harmoniques sur un ouvert qui converge uniformément sur tout compact vers une fonction . Alors est harmonique sur . De plus, pour tout multi-indice , la suite converge uniformément sur tout compact vers .
La boule ouverte de centre et de rayon sera notée . La boule fermée sera notée et la sphère sera notée . Le principe de la moyenne dit qu'une fonction harmonique est égale en tout point à sa moyenne prise sur une boule centrée en ce point. En réalité on peut voir l'équation de Laplace comme une propriété locale de la moyenne. Cette propriété locale devient globale grâce à l'identité de Green[5].
Théorème (Propriété de la moyenne sur la boule) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert et . Alors
où désigne la mesure de Lebesgue sur .
Il existe aussi une autre version de la propriété de la moyenne, où cette fois, la moyenne est prise sur la sphère[6].
Théorème (Propriété de la moyenne sur la sphère) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert et . Alors
où désigne la mesure de Lebesgue normalisée sur la sphère unité .
Précisons ce qu'est la mesure de Lebesgue normalisée sur la sphère. Pour tout avec un borélien de , on a
La propriété de la moyenne caractérise en réalité les fonctions harmoniques dans le sens où, si une fonction satisfait la propriété de la moyenne, alors elle est harmonique[7].
Théorème (Réciproque de la propriété de la moyenne sur la boule) — Soit une fonction localement intégrable sur un ouvert . Supposons que pour toute boule telle que on ait
Alors est harmonique sur .
Encore une fois il existe une autre version pour la sphère[8].
Théorème (Réciproque de la propriété de la moyenne sur la boule) — Soit une fonction continue sur un ouvert . Supposons que pour tout il existe une suite tendant vers telle que pour on ait
Alors est harmonique sur .
A noter que dans la première réciproque, la fonction est seulement supposée localement intégrable, alors que dans la seconde elle est supposée continue.
Le principe du maximum est une conséquence importante de la propriété de la moyenne[9].
Théorème (Principe du maximum) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert connexe . Si possède un extremum (c'est-à-dire un maximum ou un minimum) sur alors est constante.
Le corollaire suivant est une conséquence directe du principe du maximum[10].
Corollaire — Soit un ouvert borné et une fonction continue sur et harmonique sur . Alors les extremums sur de sont atteints sur la frontière .
Le principe du maximum donne une preuve simple de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un ouvert borné . En effet, si deux fonctions continues et sur sont harmoniques sur et égales sur alors leur différence est aussi harmonique sur . Par le principe du maximum, ou plutôt par son corollaire ci-dessus, le maximum et le minimum de sont atteints sur , donc valent 0, ce qui implique que . Il existe une version locale du principe du maximum[11].
Théorème (Principe du maximum local) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert connexe . Si possède un extremum local sur alors est constante.
Puisqu'un extremum est, a fortiori, un extremum local, ce dernier théorème est en fait une généralisation du principe du maximum global. Le principe du maximum local se déduit du global en utilisant en plus le fait que les fonctions harmoniques sont développables en série entière. En effet cela permet de montrer que la constance locale induit la constance globale.
Théorème de Liouville — Soit une fonction harmonique sur tout l'espace . Si est bornée alors elle est constante.
Le théorème de Liouville[12] peut donner une preuve de l'unicité d'un problème de Dirichlet sur un domaine non borné, à condition de se restreindre aux solutions bornées. Il complète, en ce sens, le principe du maximum. Par exemple le théorème de Liouville implique l'unicité des solutions bornées sur le demi-espace :
Plus précisément[13]
Corollaire — Soit une fonction continue sur , harmonique sur , nulle sur et bornée. Alors est nulle sur .
Il existe une version plus forte du théorème de Liouville[14].
Théorème de Liouville généralisé — Soit une fonction harmonique sur tout l'espace . Si
alors est constante.
Cette version généralisée implique la première version du théorème pour les fonctions bornées. Elle implique aussi qu'une fonction harmonique positive sur l'espace entier est nécessairement constante[15]. Cette dernière propriété permet de montrer qu'une fonction harmonique positive sur est constante[16] (il suffit de considérer la fonction qui est harmonique et positive sur , que l'on identifie à ).
Le principe de Dirichlet dit que la solution d'un problème de Dirichlet (c'est-à-dire une solution de l'équation de Laplace avec une condition au bord en plus) est la fonction qui minimise une certaine énergie, appelée énergie de Dirichlet. Plus précisément, soit un ouvert borné non vide de avec une frontière de classe . Soit une fonction continue. Notons l'ensemble des fonctions admissibles et l'énergie de Dirichlet d'un élément admissible . Le problème de Dirichlet associé à et consiste alors à trouver une fonction continue sur , harmonique sur et égale à sur la frontière .
Théorème (principe de Dirichlet) — Soit . Alors résout le problème de Dirichlet si et seulement si
En identifiant ℂ à ℝ2, on va voir que les fonctions harmoniques sont très liées aux fonctions holomorphes[17].
Théorème (holomorphe vers harmonique) — Soit une fonction holomorphe sur un ouvert de . Alors la partie réelle est une fonction harmonique sur .
La réciproque de cette propriété est fausse. En effet une fonction harmonique n'est pas forcément la partie réelle d'une fonction holomorphe définie sur tout le domaine. En revanche elle est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe. Plus précisément[18]
Théorème (harmonique vers holomorphe) — Soit une fonction harmonique sur un ouvert simplement connexe de . Alors il existe une fonction holomorphe telle que .
Une telle caractérisation des fonctions harmoniques n'existe pas en dimension supérieure à deux.