En mathématiques, les congruences de Kummer sont des congruences impliquant les nombres de Bernoulli, trouvées par Ernst Eduard Kummer en 1851 .
Kubota & Leopoldt (1964) ont utilisé les congruences de Kummer afin de définir la fonction zêta p-adique.
La forme la plus simple de la congruence de Kummer est la suivante :
où p est un nombre premier, h et k sont des entiers positifs pairs n'étant pas divisible par p−1 le nombre Bh le h-ième nombre de Bernoulli.
Plus généralement, si h et k sont des entiers positifs pairs non divisible par p − 1, alors
dès que
où φ(pa+1) est l'indicatrice d'Euler, évaluée en pa+1 avec a un entier positif. Si a = 0, on retrouve la première expression. Les deux côtés de l'égalité peuvent être interprétés comme des valeurs de la fonction zêta p-adique, les congruences de Kummer impliquant que la fonction zêta p-adique est continue sur les entiers négatifs, et peut donc être prolongée par continuité à tous les entiers p-adiques.