Vahemik ehk lahtine vahemik on sirge mingi kahe eri punkti A ja B vahel paiknevate punktide hulk.^[1] Punkte A ja B nimetatakse vahemiku otspunktideks. Otspunktid vahemikku ei kuulu.

Vahemiku punkte koos otspunktidega (A ja B) nimetatakse lõiguks.

Vahemik reaalarvude hulgal

Reaalarvude hulgal on vahemik ehk lahtine vahemik defineeritud kui reaalarvude hulga alamhulk, mille iga element ${\displaystyle x}$ rahuldab võrratust ${\displaystyle a<x<b}$, kus ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ on fikseeritud reaalarvud, mida nimetatakse vahemiku otspunktideks.

Kirjeldatud vahemikku tähistatakse ${\displaystyle (a,b)}$ või ${\displaystyle ]a,b[}$. Vahemikud reaalarvude hulgal on üksüheses vastavuses vahemikega arvsirgel.

Lõpmatud vahemikud

 Pikemalt artiklis Lõpmatu vahemik

Tinglikult räägitakse ka vahemikest ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, kuhu kuuluvad kõik reaalarvud, ${\displaystyle (-\infty ,a)}$, kuhu kuuluvad kõik reaalarvust a väiksemad reaalarvud, ja ${\displaystyle (a,+\infty )}$, kuhu kuuluvad kõik reaalarvust a suuremad reaalarvud.

Topoloogia

Vahemikud reaalarvude hulgal on lahtised hulgad reaalarvude loomuliku meetrika

${\displaystyle \rho (x,y)=|x-y|,\,}$

suhtes.

Vahemikud osaliselt järjestatud hulgal

Vahemikuks nimetatakse ka osaliselt järjestatud hulga kõikide selliste elementide ${\displaystyle x}$ hulka, mis fikseeritud elementide ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ korral rahuldavad võrratust ${\displaystyle a<x<b}$.

Vaata ka

• Lõik
• Poollõik

Viited