En álgebra lineal, se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito como combinación lineal de los restantes.
Por ejemplo, en , el conjunto de vectores es linealmente independiente, mientras que no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Dado un conjunto finito de vectores pertenecientes a un espacio vectorial , se dice que son linealmente independientes si la ecuación
se satisface únicamente cuando (los escalares son todos cero). En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.
Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo.
La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
Utilizando el concepto de subespaciogenerado por un conjunto de vectores podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si .
Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un subespacio vectorial y forman una base para dicho subespacio.
Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, cualquier subconjunto suyo también lo es.
Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga.
Dos vectores son linealmente independientes si y sólo si no tienen la misma dirección. En otras palabras, deben generar un plano (dimensión 2).
Tres vectores son linealmente independientes si y sólo si no están contenidos en el mismo plano vectorial. En otras palabras, deben generar un volumen (dimensión 3).
En general, vectores son linealmente independientes si y sólo si generan un subespacio vectorial de dimensión .
, y son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
, y son independientes por serlo y entre sí y no ser una combinación lineal de ellos, o lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano . Los tres vectores generan el espacio tridimensional.
Los vectores (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y son dependientes ya que .
Un método alternativo usa el hecho que n vectores en son linealmente independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero.
Dados los vectores:
La matriz formada por éstos es:
El determinante de esta matriz es:
Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.
Supongamos que a y b son dos números reales tales que:
aet + be2t = 0
Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es un número real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos:
bet = −a
En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.