En análisis matemático una función se dice que es uniformemente continua si pequeños cambios en el valor de producen pequeños cambios en el valor de la función (continuidad) y el tamaño de los cambios de depende solo del tamaño de los cambios en x pero no del valor de x (uniforme).
Dados dos espacios métricos y , y entonces una función se llama uniformemente continua en M si para cualquier número real existe tal que , implica que para todo .
Una función es uniformemente continua en un intervalo si para todo existe algún tal que para todo se cumple que si , entonces .[1]
A diferencia de la continuidad, donde el valor de depende del punto x, en las funciones uniformemente continuas no depende de dicho valor.
De la definición se deduce que toda función uniformemente continua es continua. Lo contrario (toda función continua es uniformemente continua) no siempre es cierto. Ejemplo: Si y . es continua y no es uniformemente continua. Sin embargo, se verifica que:
Si M es un espacio métrico compacto e Y un espacio métrico, entonces toda función continua f : M → Y es uniformemente continua. En particular, toda función continua sobre un intervalo cerrado y acotado es uniformemente continua en dicho intervalo (Teorema de Heine-Cantor).
Si (xn) es una sucesión de Cauchy contenida en el dominio de f (no necesariamente convergente) y f es una función uniformemente continua, entonces (f(xn)) también es una sucesión de Cauchy.