Auf der längsten Seite von trägt man, ggf. ausgehend von dem Eckpunkt mit dem kleineren Winkel, die kürzeste Seite ab und verbindet den so entstehenden Abtragungspunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt. Auf diese Weise wird in zwei Teildreiecke und zerlegt.
Mit den Ähnlichkeitssätzen ergibt sich, dass entweder oder zu ähnlich ist. Daraus zieht man die Folgerung, dass die Innenwinkelsumme gleich dem Fünffachen des kleinsten Winkels ist. Folglich ist einer der Winkel gleich . Ist dies der Winkel an der Spitze von , so ist ein Goldenes Dreieck erster Art. Ist es ein Basiswinkel, so ist ein Goldenes Dreieck zweiter Art. Mit dem Innenwinkelsummensatz ergibt sich dann, dass im ersten Fall das Innenwinkeltripel gleich sein muss, im zweiten Fall dagegen allein in Frage kommt.[4][5]
Euklid von Alexandria beschrieb in seinem Werk Die Elemente ein spezielles gleichschenkliches Triangel[6], heute bekannt als das Goldene Dreieck. Dieses Dreieck findet sich wieder in seiner Beschreibung für ein gleichseitiges und gleichwinkliches Pentagon[7] mit einem gegebenen Umkreis.
Ausgangssituation ist eine beliebige Strecke die im Verhältnis des Goldenen Schnitts zu teilen ist. Hierzu verwendet man die sogenannte innere Teilung. Entsprechend dem obigen Bild Goldene Dreiecke erster und zweiter Art ergeben sich dabei der Schnittpunkt und damit die beiden Abschnitte und Um die beiden Goldenen Dreiecke erster und zweiter Art zu finden, bedarf es noch des Punktes mit seinen gleichen Abständen zu den Punkten und Nach dem Verbinden der Punkte und mit dem Punkt entsteht das Goldene Dreieck erster Art sowie das Goldene Dreieck zweiter Art
Das künstlerische Bild Dreiecke im Goldenen Schnitt (Pigmente, Acryl auf Leinwand), erstellt von Irene Schramm-Biermann, zeigt bei genauer Betrachtung auch eine dünn eingezeichnete spiralförmige Linie. Sie entspringt aus dem kleinsten gelben Dreieck und ist eine logarithmischen Spirale. Für den Betrachter bleibt offen: Wurde mithilfe der logarithmischen Spirale das goldene Dreieck geformt oder wurde anhand eines goldenen Dreiecks die logarithmische Spirale bestimmt. Beides ist möglich.[8]
Die oben beschriebene Zerlegung von in die Teildreiecke und liefert beide Formen des Goldenen Dreiecks. Beide Formen treten also stets gemeinsam auf.[9] Sie ergeben sich regelmäßig bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal von regulärem Fünfeck und regulärem Zehneck. Die Winkel , und sind also allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar.[10]
Anschauungsbeispiele für das Vorkommen Goldener Dreiecke im regelmäßigen Fünfeck
Das große Goldene Dreieck erster Art (grün / blau) lässt sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art (grün) und ein Goldenes Dreieck zweiter Art (blau).
Das große Goldene Dreieck zweiter Art (grün / blau) lässt sich zerlegen in ein Goldenes Dreieck erster Art (grün) und ein Goldenes Dreieck zweiter Art (blau).
Parkettierung eines regelmäßigen Zehnecks mit goldenen Dreiecken
Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, ein Zehneck mit Goldenen Dreiecken zu parkettieren. Die folgenden Beispiele zeigen Parkettierungsmöglichkeiten mit Goldenen Dreiecken erster Art (spitzwinklig) und Goldenen Dreiecken zweiter Art (stumpfwinklig).
Links und rechts besteht die Parkettierung aus jeweils 10 Goldenen Dreiecken erster und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art und in der Mitte aus 20 Goldenen Dreiecken erster Art und 10 Goldenen Dreiecken zweiter Art.[11]
Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965.
Mario Livio: The Golden Ratio. The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, New York 2003, ISBN 0-7679-0816-3.
↑In englischsprachigen Quellen (vgl. etwa Livio: The Golden Ratio. S.79. ) versteht man unter Golden Triangle allein das Goldene Dreieck erster Art, während für das Goldene Dreieck zweiter Art die Bezeichnung Golden Gnomon (von Gnomon, altgriechisch γνώμων, gleichbedeutend mit Zeiger an der Sonnenuhr) geläufig ist.
↑Carsten Stohn, Sebastian Neumann, Tobias Högel: 8.2 Spira mirabilis. Projekt für Theoretische Mathematik, Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst. Universität Freiburg, 2002, abgerufen am 27. März 2021.