Elliptische partielle Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse partieller Differentialgleichungen (PDG). Sie werden mit Hilfe von elliptischen Differentialoperatoren formuliert. Die Lösungen einer elliptischen partiellen Differentialgleichung
haben bestimmte Eigenschaften, welche hier näher erläutert werden. Der Laplace-Operator ist der wohl bekannteste elliptische Differentialoperator, und die Poisson-Gleichung ist die dazugehörige partielle Differentialgleichung.
Physikalische Interpretation
Die elliptische Differentialgleichung ist eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung. Eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form
,
worin die Koeffizientenfunktionen
,
und
geeigneten Bedingungen genügen müssen.
Solche Differentialgleichungen treten typischerweise im Zusammenhang mit stationären (zeitunabhängigen) Problemen auf. Sie beschreiben oftmals einen Zustand minimaler Energie. Die erwähnten Laplace- und Poisson-Gleichungen beschreiben etwa die Temperaturverteilung in einem Körper oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Andere elliptische Differentialgleichungen werden zum Beispiel zur Untersuchung der Konzentration von bestimmten chemischen Stoffen verwendet. Die Terme der Ordnung zwei beschreiben dabei die Diffusion. Die Terme erster Ordnung beschreiben den Transport, und der Term der Ordnung null beschreibt die lokale Ab- und Zunahme.
Nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen treten außerdem in der Variationsrechnung und der Differentialgeometrie auf.
Definition
Elliptischer Differentialoperator
Ein Differentialoperator
, notiert in Multiindexschreibweise, der Ordnung
auf einem Gebiet
heißt im Punkt
elliptisch, falls
für alle
gilt
![{\displaystyle P_{m}(y,\xi ):=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(y)\xi ^{\alpha }\neq 0\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee13c7ecdc9cd83b406595a59e3cc0322029533c)
Man nennt
das Hauptsymbol von
. Ein Differentialoperator heißt elliptisch, falls er für alle
elliptisch ist.
Elliptische Differentialgleichung
Sei
ein elliptischer Differentialoperator und
eine Funktion, dann heißt die Gleichung
![{\displaystyle Pu=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2627ed55950681d75a287fadb55c092ab2694e5b)
elliptische Differentialgleichung und
ist die gesuchte Funktion in dieser Differentialgleichung.
Gleichmäßig elliptischer Differentialoperator
Ein Differentialoperator
heißt gleichmäßig elliptisch in
, wenn es ein
gibt, so dass
![{\displaystyle |P_{m}(y,\xi )|\geq c|\xi |^{m))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c18e2a4baa4c3da3fcf521ce39e1e13100685d4)
für alle
gilt.
Hypo-elliptischer Differentialoperator
Ein Operator
mit konstanten Koeffizienten
heißt hypo-elliptisch, wenn es ein
gibt, so dass für alle
mit
und alle
gilt:
und
.
Allgemeiner heißt ein Differentialoperator
auf einer offenen Menge
mit nicht notwendigerweise konstanten Koeffizienten hypo-elliptisch, falls für jede Menge
offen, beschränkt und jede Distribution
die Implikation
![{\displaystyle Pu\in C^{\infty }(U')\quad \Rightarrow \quad u\in C^{\infty }(U')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a309eb17e3fb3b77072abffef3417ab3399c10d)
gilt. In Worten: Ist das Bild im Distributionensinne des Differentialoperators
unendlich oft differenzierbar, so gilt dies bereits für die Urbilder.
Im Gegensatz zum gleichmäßig elliptischen Differentialoperator ist der hypo-elliptische Differentialoperator eine Verallgemeinerung des elliptischen Differentialoperators. Diese Forderung an den Differentialoperator ist also schwächer. Siehe hierzu die Regularitätstheorie elliptischer Operatoren weiter unten.
Namensherkunft
Das Adjektiv elliptisch in der Bezeichnung elliptische partielle Differentialgleichung stammt aus der Theorie der Kegelschnitte. In dieser Theorie wird im Fall
die Lösungsmenge, der Gleichung
![{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a694f3a0805f2f11868a2a69413866d64170409b)
Ellipse genannt. Betrachtet man nun die homogene Differentialgleichung
![{\displaystyle A\partial _{x_{1},x_{1))^{2}u(x)+B\partial _{x_{1},x_{2))^{2}u(x)+C\partial _{x_{2},x_{2))^{2}u(x)+D\partial _{x_{1))u(x)+E\partial _{x_{2))u(x)+Fu(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62613425bfea6ad9ee0c094e0887aa0f611b4d83)
zweiter Ordnung in zwei Dimensionen mit konstanten Koeffizienten, so ist diese genau dann gleichmäßig elliptisch, wenn
gilt.
Beispiele
- Das wohl wichtigste Beispiel eines gleichmäßig elliptischen Differentialoperators ist der Laplace-Operator
![{\displaystyle \Delta u(x)=\sum _{j=1}^{n}\partial _{x_{j}x_{j))^{2}u(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2310aa5aa4a850a600d01c892e29904d2fef415)
- dessen Hauptsymbol
ist. Funktionen, welche die Laplace-Gleichung
erfüllen, heißen harmonisch und haben einige besondere Eigenschaften, so zum Beispiel, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Man hat nun die Hoffnung, dass sich diese Eigenschaften auf „ähnliche“ Differentialoperatoren übertragen lassen.
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z))))={\frac {1}{2))\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{\partial y))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f34aedbe09f54096f8aef1a129cabacb15dda9)
- ist gleichmäßig elliptisch, denn sein Hauptsymbol lautet
.
Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung
Im Folgenden werden die wichtigsten Aussagen für elliptische Differentialoperatoren der Ordnung zwei in
Dimensionen aufgezeigt. Sei deshalb
![{\displaystyle P(u)(x)=\sum _{i,j}^{n}a_{ij}(x)\partial _{x_{i},x_{j))^{2}u(x)+\sum _{i}^{n}b_{i}(x)\partial _{x_{i))u(x)+c(x)u(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bb2f80d5d13d0f21163966a37cafc1c91fe5cf)
ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Außerdem sei
eine offene, zusammenhängende, beschränkte Teilmenge mit Lipschitz-Rand.
Existenzaussage
Es seien die Koeffizientenfunktionen
allesamt messbare und beschränkte Funktionen. Dann existiert für jedes
eine eindeutige schwache Lösung
des Dirichlet-Randwertproblems
![{\displaystyle \left\((\begin{array}{cc}Pu=f&{\text{in))\ U\\u=0&{\text{in))\ \partial U,\end{array))\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c983b2a309a1173bb51cf7d0d0b843691ded12)
falls die zum Differentialoperator
assoziierte Bilinearform
koerziv ist. Hierbei ist
definiert vermöge
.
Mit dem Lemma von Lax-Milgram folgert man die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung
aus der Bilinearform
. Ist
gleichmäßig elliptisch, so ist die assoziierte Bilinearform
immer koerziv. Verwendet man statt einer Dirichlet-Randbedingung eine Neumann-Randbedingung, so existiert, falls die assoziierte Bilinearform wieder koerziv ist, genau eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, was sich fast genauso beweisen lässt.
Regularität
Seien
für alle
, und sei außerdem
und
eine schwache Lösung der elliptischen Differentialgleichung
.
Dann gilt
.
Maximumprinzip
Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei
in
und sei
.
1. Falls
![{\displaystyle Pu\leq 0\ {\text{in))\ U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9daaad61fbe4ca6d1f65e8790824204253ef2e7d)
gilt und
ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von
annimmt, dann ist
konstant.
2. Falls
![{\displaystyle Pu\geq 0\ {\text{in))\ U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2662f89c9da70cd7ca3a4f41d30105a1ae6bf3d1)
gilt und
ein nichtpositives Minimum in einem inneren Punkt von
annimmt, dann ist
konstant.
Eigenwertprobleme
Man betrachte das Randwertproblem
![{\displaystyle Pu=\lambda u\ {\text{in))\ U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce61c973116da2b3214ade31e66db37671af122)
![{\displaystyle \ u=0\ {\text{in))\ \partial U,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ad48a45e486361e6d3c373d719a2eb1fa2f567)
wobei
ein Eigenwert des Differentialoperators
ist. Außerdem sei
symmetrischer Differentialoperator.
1. Dann sind alle Eigenwerte
reell.
2. Außerdem haben alle Eigenwerte dasselbe Vorzeichen und haben nur endliche Vielfachheit.
3. Schlussendlich existiert eine Orthonormalbasis
von
mit
als Eigenfunktion zum Eigenwert
.
Theorie der elliptischen Pseudodifferentialoperatoren
Definition
Ein Pseudodifferentialoperator heißt elliptisch, falls sein Symbol
eigentlich getragen und das homogene Hauptsymbol gleichmäßig elliptisch ist – oder äquivalent dazu, falls in einer konischen Umgebung
von
für das echte Symbol die Ungleichung
für eine Konstante
für
und
gilt.[1]
Invertierbarkeit
Sei
ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und
, dann existiert ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator
, so dass
![{\displaystyle (P\circ Q)(u)=(Q\circ P)(u)=I(u)+R(u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0736621b7cf4a74d472c1d5bce024b14267138d)
gilt. Dabei ist
der Identitätsoperator, und
ist ein Operator, welcher jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet. Diesen Operator
nennt man Parametrix.
Der Operator
kann also modulo
invertiert werden. Diese Eigenschaft macht den elliptischen Pseudodifferentialoperator und damit als Spezialfall den elliptischen Differentialoperator zu einem Fredholm-Operator.
Singulärer Träger
Sei
wieder ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und
. Dann gilt für jede Distribution
![{\displaystyle \operatorname {sing\ supp} (Pu)=\operatorname {sing\ supp} (u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be281a53120866404b340e4cebf7ac57900f844)
Der singuläre Träger einer Distribution verändert sich also nicht.
- Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 151–181.
- Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2.
- Alain Grigis & Johannes Sjöstrand – Microlocal Analysis for Differential Operators, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3.
- ↑ Alain Grigis, Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, S. 41.