Claus Bue absolvierte von 1969 bis 1972 seine Schauspielausbildung an der Staatlichen Theaterschule in Kopenhagen und trat danach als Theaterschauspieler auf verschiedenen dänischen Bühnen auf. So war er unter anderem am Det Kongelige Teater, Det Danske Teater, Turnus Teatret, Det Lille Teater, Teater Grob, Nørrebros Teater, Grønnegårdsteatret, Café Teatret und am Svalegangen-Theater tätig. Bues bekannteste Auftritte hatte er dort Den rødhårede starut (Das rothaarige Ross, 2004), Historier på loftet (2006), Den førstefødte (Der Erstgeborene, 2004), Hvis (2006), Let’s Kick Ass (2005), Richard III (2006), Bunbury (2007) og Glengarry Glen Ross (2009). SLUT (2010), Mænd der hader kvinder (Männer, die Frauen hassen, von 2010 bis 2011).
Claus Bue wirkte bislang in mehr als 90 dänischen Filmen und in einigen Fernsehserien mit.
Er ist seit 1997 mit der Schauspielerin Rikke Wölck verheiratet.
