V lineární algebře se matice, která vznikne z matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, nazývá matice transponovaná k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ a obvykle se značí ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$. ^[1] Odpovídající operace je tzv. transpozice matice.

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley. ^[2] Reprezentuje-li matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ binární relaci, pak její transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$ odpovídá inverzní relaci.

Definice

Matici transponovanou k matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ lze získat libovolnou z následujících metod:

1. Převrácením ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ podél její hlavní diagonály nebo
2. zápisem řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ do sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$nebo
3. zápisem sloupců ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ do řádků ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$.

Formálně, pro jednotlivé prvky transponované matice platí:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} })_{ij}=a_{ji))$

Pokud má matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ rozměry ${\displaystyle (m,n)}$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech ${\displaystyle (n,m)}$.

Symbol ${\displaystyle \mathrm {T} }$ je rezervován pro označení transpozice a neměl by být zaměňován s jiným významem horního indexu, jako např. název proměnné ${\displaystyle i}$ ve výrazu ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{i))$, znamenajícím ${\displaystyle i}$-tou mocninu čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$.

Ukázky

• Transpozicí matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))={\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&6&7\end{pmatrix))}$ vznikne ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}0&4\\1&5\\2&6\\3&7\end{pmatrix))}$.
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix))^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix))}$

Definice matic využívající transpozici

Čtvercová matice, jenž je rovna své transpozici, se nazývá symetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je symetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A))}$.

Čtvercová matice, jenž je rovna záporu své transpozice, se nazývá antisymetrická matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je antisymetrická, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }=-{\boldsymbol {A))}$.

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je rovna matici, kde každý prvek je nahrazen k němu komplexně sdruženým číslem, se nazývá hermitovská matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je hermitovská, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }={\overline {\boldsymbol {A))))$.

Čtvercová matice, jejíž transpozice se shoduje s její inverzní matici, se nazývá ortogonální matice; čili ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je ortogonální, pokud

${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A))^{-1))$.

Vlastnosti

• Dvojitá transpozice matice je opět původní matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A))}$,

neboli operace transpozice je involuce.

• Skalární násobek lze vytknout před operaci transpozice:

${\displaystyle (c{\boldsymbol {A)))^{\mathrm {T} }=c{\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$

neboli transpozice zachovává skalární násobek matic.

• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:

${\displaystyle ({\boldsymbol {A))+{\boldsymbol {B)))^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }+{\boldsymbol {B))^{\mathrm {T} ))$

neboli transpozice zachovává součet matic.

• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {AB))\right)^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {B))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\,}$

Indukcí lze tento vztah rozšířit na součin více matic: ${\displaystyle ({\boldsymbol {A))_{1}{\boldsymbol {A))_{2}\cdots {\boldsymbol {A))_{k})^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A))_{k}^{\mathrm {T} }\cdots {\boldsymbol {A))_{2}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A))_{1}^{\mathrm {T} ))$

• Z předchozího vztahu vyplývá, že čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ je regulární, právě když je regulární ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$. V tomto případě platí, že transpozice inverzní matice je rovna inverzi transponované matice:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {-1} }=\left({\boldsymbol {A))^{\mathrm {-1} }\right)^{\mathrm {T} }\,}$

• Skalární součin dvou reálných sloupcových vektorů ${\displaystyle {\boldsymbol {u))}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {v))}$ lze spočítat jako jediný prvek maticového součinu:

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {u))|{\boldsymbol {v))\rangle ={\boldsymbol {u))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {v))}$

• Determinant čtvercové matice se transpozicí nezmění:

${\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\right)=\det {\boldsymbol {A))\,}$

• Vlastní čísla čtvercové matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ se shodují s vlastními čísly její transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$, protože obě matice mají totožný charakteristický polynom.
• Pro libovolnou matici platí, že obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A))}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {A)){\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$ jsou symetrické. Symetrie matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A)){\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$prostě plyne ze skutečnosti, že je sama sobě transpozicí:

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A)){\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }=\left({\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }\right)^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }={\boldsymbol {A)){\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$.

• Je-li navíc ${\displaystyle {\boldsymbol {A))}$ reálná matice, pak obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A))}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {A)){\boldsymbol {A))^{\mathrm {T} ))$ jsou pozitivně semidefinitní.

Implementace maticové transpozice na počítačích

Na počítači se lze často vyhnout výpočtu a ukládání transpozice matice v paměti pouhým přístupem ke stejným datům, ale jen v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebru, jako je BLAS, obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matice mají být interpretovány v transponovaném pořadí, aby se předešlo nutnosti přesunu dat.

V řadě případů je však nutné nebo žádoucí fyzicky přeuspořádat matici v paměti na její transpozici. Například s maticí uloženou v pořadí po řádcích jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba provádět opakované operace se sloupci, například v rychlé Fourierově transformaci, může transpozice matice v paměti (aby sloupce byly souvislé) zrychlit výpočet díky principu lokality paměti.

Ve výpočtech je vhodné provádět transpozici matici s minimálními dodatečnými paměťovými nároky. To vede k problému transpozice matice typu ${\displaystyle m\times n}$ na místě, neboli s dodatečnou pamětí konstantní velikosti, případně o velikosti mnohem menší než udává součin ${\displaystyle mn}$ odpovídající alokaci paměti pro celou transponovanou matici. V případě, že ${\displaystyle m\neq n}$, jde o složitou permutaci uložených dat, jejíž implementace na místě není triviální. Efektivní transpozice matice na místě se stala předmětem četných výzkumných publikací v teoretické informatice už koncem 50. let 20. století.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Transpose na anglické Wikipedii.

Literatura

• Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Inverzní matice
• Násobení matic
• Matice

Externí odkazy

• Eduard Krajník - Maticový počet Archivováno 26. 7. 2020 na Wayback Machine.