Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru
,
kde
. Čísla
se nazývají koeficienty polynomu.
Stupeň polynomu
Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) =
.
Operace s polynomy
Mějme polynom
-tého stupně
, a polynom
-tého stupně
.
- Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn.
pro všechna
pouze tehdy, je-li
a pro každé
platí
.
- Sečtením polynomů
a
získáme polynom
,
kde
. Stupeň výsledného polynomu je
. (Odpovídající koeficienty polynomů
a
mohou v součtu dávat 0.)
- Součin polynomů
je polynom
, který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je
.
- Platí tedy, že
.
- Je-li kde
, pak existují právě dva polynomy
takové, že platí
![{\displaystyle f(x)=g(x)r(x)+s(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adefafedc3af65e278b9fbff084b0dfa3f936108)
kde
má stupeň menší než
nebo je nulovým polynomem. Pokud
je nulový polynom, pak říkáme, že polynom
je dělitelný polynomem
.
Hornerovo schéma
Polynom
lze zapsat ve tvaru
![{\displaystyle p(x)=(...((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+...+a_{1})x+a_{0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5870daa73276a00e0e35c746d849d12f211829be)
Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu
v bodě
postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li
,
,
,
- …
,
pak poslední číslo
představuje právě hodnotu polynomu
v bodě
.
Příklady
- Mějme polynomy
, ![{\displaystyle g(x)=x^{3}-2x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d7e021887d13c672e00a1549911f808f589503)
![{\displaystyle f(x)+g(x)=x^{4}-x+x^{3}-2x+1=x^{4}+x^{3}-3x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36077c07b9cddea1833d9a202c4878a1229f36ae)
![{\displaystyle f(x)\cdot g(x)=(x^{4}-x)(x^{3}-2x+1)=x^{7}-2x^{5}+x^{4}-x^{4}+2x^{2}-x=x^{7}-2x^{5}+2x^{2}-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858929b5956864aef8fdec7795c194a113fbe0a3)
- Pokusme se zjistit, zda je polynom
dělitelný polynomem
.
Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu
členem s nejvyšší mocninou polynomu
, tzn.
. První člen polynomu
tedy bude
. Tímto členem vynásobíme polynom
(dostaneme tedy
) a výsledek odečteme od polynomu
, čímž získáme nový polynom
.
Nejvyšší člen polynomu
opět dělíme nejvyšším členem polynomu
, tzn.
, tzn. další člen polynomu
je
. Tímto členem opět násobíme polynom
, tzn. získáme
, a výsledek odečteme od polynomu
. Získáme nový polynom
.
Stupeň polynomu
je však nižší než stupeň polynomu
, proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom
tedy odpovídá polynomu
.
Výsledek tedy je
,
tzn.
a
.
Vzhledem k tomu, že
, není polynom
dělitelný polynomem
.
Kořen polynomu
Číslo
se nazývá kořen polynomu
, jestliže platí
![{\displaystyle p(\alpha )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5961f557f1ffe8b0e8caf99cefa3896de0b1eb7a)
Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.
Vlastnosti
- Je-li
kořenem polynomu
stupně
, pak
,
kde
je polynom stupně
.
- Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze
kořenů polynomu
-tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom
na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu
stupně
, tzn.
,
kde
představují známé kořeny polynomu
. Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu
stačí hledat pouze kořeny polynomu
, tzn. řešit rovnici
, neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu
. Polynom
získáme z polynomu
jeho vydělením výrazem
.
Rozklad na kořenové činitele
- Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom
stupně
lze zapsat ve tvaru
,
kde
jsou kořeny polynomu
. Členy
označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).
Násobnost kořene
- Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
,
kde
, přičemž
jsou přirozená čísla. Čísla
určují násobnost kořene
, tzn. kolikrát se kořen
vyskytuje v řešení polynomu.
- Pokud má polynom stupně
s reálnými koeficienty
-násobný kořen
, má také
-násobný kořen
. To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem
.
- Podle předchozího tvrzení lze každý polynom
stupně
s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla
, reálných kořenových činitelů
a reálných trojčlenů
, splňujících podmínku
, tzn.
,
kde
jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka
.
Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.
,
kde
určuje počet reálných kořenů polynomu a
je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.
- Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
- Pokud jsou
kořeny polynomu
, potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
![{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=-a_{n-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d8b12b3fe7b39e140a0bb3e1b3b56175a123c2)
![{\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}+\alpha _{2}\alpha _{3}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}++\alpha _{n-1}\alpha _{n}=a_{n-2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48edd5ea1a229b391241bc92fbc53112681349f3)
- …
![{\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{n}=(-1)^{n}a_{0))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883c7c06e3d5b676235df59bbbb11da4c5e3f0ab)