Asociativita | Neutrální prvek | Inverzní prvek | Komutativita | |
---|---|---|---|---|
Abelova grupa | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Grupa | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Monoid | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Pologrupa | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Lupa | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Kvazigrupa | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Grupoid | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.
Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.
Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.
Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.
V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) splňující , a . Morfismus je morfismem mezi monoidy, pokud a . Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.