Limita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje .
Číslo je limitou posloupnosti , jestliže pro libovolné existuje takové, že pro každé platí .
Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Důkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost má dvě limity a , přičemž , pak platí:
a
.
Označme větší z čísel a , pak pro všechna a pro libovolné platí:
a .
Tedy vzdálenost od bodu i od bodu je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že posloupnost má vlastní limitu , popř. že posloupnost konverguje k číslu :
Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.
K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému takové přirozené číslo , že pro libovolnou dvojici indexů platí , pak je posloupnost konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna platí , pak říkáme, že funkční posloupnost bodově konverguje v bodě k limitní funkci :
Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost označíme jako bodově divergentní.
Pokud k libovolnému číslu existuje přirozené číslo takové, že pro všechna a pro všechny body platí , pak říkáme, že funkční posloupnost stejnoměrně konverguje na intervalu k limitní funkci :
Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost na intervalu stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému najít takové přirozené číslo , že pro každou dvojici a každé platí .
Pokud jsou funkce na intervalu spojité a posloupnost je na stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu spojitá také limitní funkce .
Říkáme, že posloupnost je