Limita posloupnosti je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané nekonečné posloupnosti blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ .

Definice

Číslo $A\in \mathbb {R}$ je limitou posloupnosti ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ , jestliže pro libovolné $\varepsilon >0$ existuje $n_{0}\in \mathbb {N}$ takové, že pro každé ${\displaystyle n\geq n_{0))$ platí $|a_{n}-A|<\varepsilon$ .

Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

Důkaz jednoznačnosti limity

Důkaz sporem: předpokládejme, že posloupnost ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ má dvě limity $A$ a $B$ , přičemž $A\neq B$ , pak platí:

$\forall \varepsilon >0:\exists n_{1}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{1}:\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon$

a

$\forall \varepsilon >0:\exists n_{2}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{2}:\left|a_{n}-B\right|<\varepsilon$ .

Označme ${\displaystyle n_{0))$ větší z čísel ${\displaystyle n_{1))$ a ${\displaystyle n_{2))$ , pak pro všechna ${\displaystyle \varepsilon ={|A-B|/2))$ a pro libovolné ${\displaystyle n>n_{0))$ platí:

${\displaystyle |A-a_{n}|<{|A-B|/2))$ a ${\displaystyle |B-a_{n}|<{|A-B|/2))$ .

Tedy vzdálenost ${\displaystyle a_{n))$ od bodu $A$ i od bodu $B$ je menší, než polovina vzdálenosti těchto dvou bodů, dostáváme tedy spor.

Konvergentní posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje přirozené číslo ${\displaystyle n_{0))$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n>n_{0))$ platí $|a_{n}-A|<\varepsilon$ , pak říkáme, že posloupnost ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ má vlastní limitu $A$ , popř. že posloupnost konverguje k číslu $A$ :

\lim _{n\to \infty }a_{n}=A

.

Pokud má posloupnost vlastní limitu, pak ji označujeme jako konvergentní. V opačném případě hovoříme o divergentní posloupnosti.

K ověření konvergence lze použít tzv. Bolzano-Cauchyovu podmínku, která říká, že existuje-li ke každému $\varepsilon >0$ takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0))$ , že pro libovolnou dvojici indexů ${\displaystyle m>n_{0},n>n_{0))$ platí $|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon$ , pak je posloupnost ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ konvergentní. V úplných metrických prostorech se jedná o nutnou a postačující podmínku konvergence posloupnosti. Posloupnost splňující BC podmínku se také nazývá Cauchyovská posloupnost.

Bodová konvergence funkční posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje přirozené číslo ${\displaystyle n_{0))$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n>n_{0))$ platí $|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|<\varepsilon$ , pak říkáme, že funkční posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ bodově konverguje v bodě ${\displaystyle x_{0))$ k limitní funkci $f$ :

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})=f(x_{0})

.

Pokud uvedená limita neexistuje, pak posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ označíme jako bodově divergentní.

Stejnoměrná konvergence funkční posloupnosti

Pokud k libovolnému číslu $\varepsilon >0$ existuje přirozené číslo ${\displaystyle n_{0))$ takové, že pro všechna ${\displaystyle n>n_{0))$ a pro všechny body $x\in \mathbf {I}$ platí $|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon$ , pak říkáme, že funkční posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ stejnoměrně konverguje na intervalu $\mathbf {I}$ k limitní funkci $f$ :

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)

.

Podle Bolzano-Cauchyovy podmínky je posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ na intervalu $\mathbf {I}$ stejnoměrně konvergentní tehdy a pouze tehdy, pokud lze ke každému $\varepsilon >0$ najít takové přirozené číslo ${\displaystyle n_{0))$ , že pro každou dvojici ${\displaystyle n>n_{0},m>n_{0))$ a každé $x\in \mathbf {I}$ platí $\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon$ .

Pokud jsou funkce ${\displaystyle f_{n))$ na intervalu $\mathbf {I}$ spojité a posloupnost ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ je na $\mathbf {I}$ stejnoměrně konvergentní, pak je na intervalu $\mathbf {I}$ spojitá také limitní funkce $f$ .

Vlastnosti konvergentní posloupnosti

Mějme dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$ , pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ . Pak následující posloupnosti jsou také konvergentní:

\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=a\pm b

\lim _{n\to \infty }ka_{n}=ka

\lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|a\right|

\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=ab

\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n)){b_{n))}={\frac {a}{b))\;{\mbox{ pro ))b\neq 0

,

kde z posloupnosti

(b_{n})

jsou vynechány všechny nulové členy, kterých je konečný počet, neboť

b\neq 0

.

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$ , pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ , pak jestliže pro každé $n$ je ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n))$ , pak je také $a\leq b$ .

Máme-li dvě konvergentní posloupnosti $(a_{n}),(b_{n})$ , pro které platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a,\lim _{n\to \infty }b_{n}=a$ , pak jestliže existuje posloupnost $(c_{n})$ taková, že pro každé $n$ je ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n))$ , pak platí také $\lim _{n\to \infty }c_{n}=a$ .

Je-li $(a_{k_{n)))$ podposloupnost posloupnosti $(a_{n})$ a platí $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ , pak platí také $\lim _{n\to \infty }a_{k_{n))=a$ .

Bolzano-Weierstrassova věta: Je-li ${\mathit {())a_{n})$ omezená posloupnost v $\mathbb {R}$ , pak z ní lze vybrat posloupnost ${\mathit {())a_{k_{n)))$ , která je konvergentní. Tato věta je založena na axiomu výběru, proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí. Podle této věty má každá ohraničená posloupnost alespoň jeden hromadný bod. Pokud je těchto hromadných bodů více (i nekonečně mnoho), vždy existuje jeden nejmenší a jeden největší, tzv. limes superior a limes inferior dané posloupnosti, což zapisujeme: