Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice
Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor
nad tělesem
spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
,
které pro všechna
splňuje vlastnosti:
.
.
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
- Uvažujme libovolné dva prvky
. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
,
- z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
,
- z čehož plyne
, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.