El Teorema de Viviani, pel matemàtic italià Vincenzo Viviani, diu que la suma de les distàncies des de qualsevol punt interior als costats d'un triangle equilàter és constant i igual a l'alçada del triangle.[1]
Per demostrar-ho cal tenir en compte la proposició, ja demostrada, que l'àrea de qualsevol triangle és igual a la meitat del producte de la seva base per la seva altura.
Sigui un triangle equilàter d'alçada i de costat .
Sigui un punt qualsevol a l'interior del triangle, i , , les distàncies de als tres costats del triangle. Les línies que uneixen amb cadascun dels vèrtexs del triangle , i , formen els tres triangles , i .
Les àrees de cadascun d'aquests triangles són , , i . Aquests tres triangles cobreixen exactament el triangle sencer, per això la suma de les tres àrees ha de ser igual al àrea del triangle complet.
Per tant, podem escriure:[2]
i, per això:
Tipus | ||
---|---|---|
Centres | ||
Rectes | ||
Teoremes |