En teoria de grups, donat un grup G sota una operació binària *, es diu que un subconjunt H de G és un subgrup de G si H amb l'operació * també forma un grup. Més precisament, H és un subgrup de G si la restricció de * a H x H és una operació de grup en H. De vegades, la relació «H és un subgrup de G» s'indica amb la notació H ≤ G.
Un subgrup propi d'un grup G és un subgrup H que és un subconjunt propi de G (és a dir H ≠ G). El subgrup trivial de qualsevol grup és el subgrup {e} que conté només l'element identitat.
Les mateixes definicions s'apliquen de forma més general quan G és un semigrup arbitrari, però aquest article només tractarà amb subgrups de grups. El grup G de vegades es denota pel parell ordenat (G,*), normalment per emfasitzar l'operació * quan G porta múltiples estructures algebraiques o d'altres tipus.
En el que segueix, es farà servir la convenció habitual d'ometre * i escriure el producte a* b simplement com ab.
Sia G el grup abelià els elements del qual són
i que té per operació de grup l'addició mòdul vuit. La seva taula Cayley és
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Aquest grup té un parell de subgrups no trivials: J={0,4} i H={0,2,4,6}, on és J també és un subgrup d'H. La taula Cayley de H és el quadrant primer de l'esquerra de la taula Cayley de G. El grup G és cíclic, i també ho són els seus subgrups. En general, els subgrups dels grups cíclics també són cíclics.
Donat un subgrup H i un a de G, es defineix la classe lateral per l'esquerra aH = {ah : h in H}. Com que a és invertible, la funció: φ : H → aH donada per φ(h) = ah és una bijecció. A més, tots els elements de G pertanyen precisament a una classe lateral per l'esquerra d'H; les classes laterals per l'esquerra són les classes d'equivalència que corresponen a la relació d'equivalència a1 ~ a₂ si i només si a1−1a₂ és de H. El nombre de classes laterals per l'esquerra d'H s'anomena l'índex d'H a G i es denota per [G : H].
El teorema de Lagrange estableix que per a un grup finit G i un subgrup H,
on |G| i |H| denoten els ordres de G i H, respectivament. En particular, l'ordre de tots els subgrups de G (i l'ordre de tots els elements de G) ha de ser un divisor de |G|.
Les classes laterals per la dreta es defineixen anàlogament: Ha = {ha : h in H}. Són també les classes d'equivalència per a una relació d'equivalència adequada i el seu nombre és igual a [G : H].
Si aH = Ha per cada a de G, llavors es diu que H és un subgrup normal. Tots els subgrups d'índex 2 són normals: les classes laterals per l'esquerra, són simplement el subgrup i el seu complement.