A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:
Un espai vectorial V sobre un cos
en el qual es defineix un valor absolut (generalment
o
) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació
, que verifica:
- No negativitat. Per a tot
de
la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si
és el vector zero:
si
i
.
- Homogeneïtat. Per a tot
de
i per a tot k de
se satisfà que
·
on
és el mòdul o valor absolut.
- Desigualtat triangular. Per a tots
e
de
es compleix que
.
Generalment es denotarà a
l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per
.
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
- L'espai euclidià
.
- Les matrius quadrades d'ordre n sobre
: ![{\displaystyle M_{n}\left(\mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2796e39d441374af09526168ac26c392a8982018)
En tot espai vectorial normat V es pot definir la distància
:
![{\displaystyle d(x,y):=||x-y||\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928beb22a941774e2049f901d44544f5a89f6316)
amb la qual (V, d) és un espai mètric.
La distància és invariant per translació : si x, y, z són elements de V :
![{\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d43b7d82eb4d289e413c526dc152d92546cfcb8)
Espais vectorials normats de dimensió finita
[modifica]Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):
- Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
- L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
- Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.
- Tot funcional lineal és continu (si l'espai vectorial normat té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus).
- Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.