En topologia, un espai topològic és un espai separable si inclou un subconjunt dens numerable.
Un espai de Hilbert és separable si i només si admet una base ortonormal numerable.
Sigui (H, <, >) un espai de Hilbert separable. Si {ik}k∈B és una base ortonormal numerable de V, llavors cada element x de V es pot escriure com
Aquesta suma també s'anomena l'expansió de Fourier de x.
Exemples d'espais de Hilbert són amb o l'espai de les successions complexes quadrat-sumables i l'espai de les funcions quadrat-integrables en el sentit de Lebesgue Una gran varietat d'espais de Hilbert que es presenten en la pràctica són separables i són en particular els espais i els prototips principals d'espais de Hilbert, ja que tot espai de Hilbert separable de dimensió finita és isomorf a mentre que tot espai de Hilbert separable de dimensió infinita és isomorf a .
Constitueix un espai de Hilbert no separable, dotat del producte escalar entre dues funcions f i g :
Necessàriament aquestes funcions d'aquest espai de Hibert no són contínues, ja que els espais normats de funcions reals contínues definides en són sempre separables.