U matematici, Taylorov red predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva Maclaurinov red, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu.

Definicija

Taylorov red za neku neprekidnu funkciju ${\displaystyle f(x)}$ sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku ${\displaystyle a}$ jeste definiran ovako:

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!))(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!))(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!))(x-a)^{n}+\cdots }$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!))(x-a)^{n))$

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:

${\displaystyle T(x_{1},\cdots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1))}{\partial x_{1}^{n_{1))))\cdots {\frac {\partial ^{n_{d))}{\partial x_{d}^{n_{d)))){\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!))(x_{1}-a_{1})^{n_{1))\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d))}$

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2))(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}\nabla ^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots }$

gdje je ${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )}$ gradijent, a ${\displaystyle \nabla ^{2}f(\mathbf {a} )}$ Hesseova matrica.

Primjeri

Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1 − x)⁻¹ je geometrijski red

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

tako da Taylorov red za x⁻¹ u a = 1

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1  − x), gdje log označava prirodni logaritam:

${\displaystyle x+{\frac {x^{2)){2))+{\frac {x^{3)){3))+{\frac {x^{4)){4))+\cdots \!}$

a odgovarajući Taylorov red za log(x) u a = 1 je

${\displaystyle (x-1)-{\frac {(x-1)^{2)){2))+{\frac {(x-1)^{3)){3))-{\frac {(x-1)^{4)){4))+\cdots .\!}$

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju ${\displaystyle e^{x))$ u ${\displaystyle a=0}$ je

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1)){1!))+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{4)){4!))+{\frac {x^{5)){5!))+\cdots \qquad =\qquad 1+x+{\frac {x^{2)){2))+{\frac {x^{3)){6))+{\frac {x^{4)){24))+{\frac {x^{5)){120))+\cdots .\!}$

Gornji izraz važi zato što je derivacija od e^x također e^x, a e⁰ jednako je 1. Ovo ostavlja članove (x − 0)ⁿ u brojniku, a n! ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

Konvergentnost

Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve ${\displaystyle x}$. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, ${\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)}$, konvergira prema 0.

Kada je ${\displaystyle f(x)}$ sama potencijalni red oko tačke ${\displaystyle a}$, onda je Taylorov red identičan sa njim.

Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija

Također pogledajte: Spisak matematičkih redova

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente ${\displaystyle x\!}$.

Eksponencijalna funkcija:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n)){n!))=1+x+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{3)){3!))+\cdots {\text{ za sve ))x\!}$

Prirodni logaritam:

${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n)){n)){\text{ za ))|x|\leq 1,\,x\not =1}$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n)){n)){\text{ za ))|x|\leq 1,\,x\not =-1}$

Konačan geometrijski red:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1)){1-x))=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ za ))x\not =1{\text{ i ))m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

Beskonačan geometrijski red:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x))=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ za ))|x|<1\!}$

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

${\displaystyle {\frac {x^{m)){1-x))=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ za ))|x|<1{\text{ i ))m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2))}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ za ))|x|<1\!}$

Kvadratni korijen:

${\displaystyle {\sqrt {1+x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n))}x^{n}{\text{ za ))|x|<1\!}$

Binomni red (uključujući kvadratni korijen za α = 1/2 i beskonačan geometrijski red za α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ za sve ))|x|<1{\text{ i sve kompleksne ))\alpha \!}$

sa općenitim binomnim koeficijentima

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k))={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!)).\!}$

Trigonometrijske funkcije:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){(2n+1)!))x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{5)){5!))-\cdots {\text{ za sve ))x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){(2n)!))x^{2n}\quad =1-{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))-\cdots {\text{ za sve ))x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!))x^{2n-1}\quad =x+{\frac {x^{3)){3))+{\frac {2x^{5)){15))+\cdots {\text{ za ))|x|<{\frac {\pi }{2))\!}$

gdje je B Bernoullijev broj.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n)){(2n)!))x^{2n}{\text{ za ))|x|<{\frac {\pi }{2))\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{2n+1}{\text{ za ))|x|<1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){2n+1))x^{2n+1}{\text{ za ))|x|\leq 1\!}$

Hiperbolička funkcija:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1)){(2n+1)!))=x+{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{5)){5!))+\cdots {\text{ za sve ))x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n)){(2n)!))=1+{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))+\cdots {\text{ za sve ))x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!))x^{2n-1}=x-{\frac {z^{3)){3))+{\frac {2}{15))z^{5}-{\frac {17}{315))z^{7}+\cdots {\text{ za ))|x|<{\frac {\pi }{2))\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)))x^{2n+1}{\text{ za ))|x|<1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1)){2n+1)){\text{ za ))|x|<1\!}$

Lambertova W funkcija:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1)){n!))x^{n}{\text{ za ))|x|<{\frac {1}{\mathrm {e} ))\!}$

Brojevi B_k, koji se pojavljuju u sumiranju pri razvijanju tan(x) i tanh(x) predstavljaju Bernoullijev broj. E_k u razvijanju sec(x) je Eulerov broj.

Također pogledajte

• Taylorov teorem
• Laurentov red
• Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
• Newtonov polinom
• Diferencijalna mašina
• Teorem srednje vrijednosti

Vanjski linkovi

• Taylorov red na Wikimedia Commonsu