Kvadrat je poseban pravilni četverostrani pravougaonik, romb, deltoid, paralelogram^[1], i jednakokraki trapezoid/trapezium.

Tjemena se označavaju velikim slovima A, B, C, D, stranica malim slovom a, dijagonala malim slovom d. To je jedini pravilan mnogougao čiji su unutrašnji ugao, centralni ugao i spoljašnji ugao jednaki (90°), a čije su dijagonale jednake po dužini.^[2]

Formule

Obim kvadrata se izračunava formulom ${\displaystyle O=4*a}$

Površina formulom ${\displaystyle P=a*a=a^{2))$, gdje je a stranica kvadrata.

${\displaystyle P={\frac {d^{2)){2)).}$

${\displaystyle p=2R^{2};}$

Poluprečnik upisanog kruga je ${\displaystyle r={\frac {a}{2))}$

Poluprečnik opisanog kruga je ${\displaystyle R=a{\frac {\sqrt {2)){2))}$

Pošto je to pravilan mnogougao, kvadrat je četvorougao najmanjeg perimetra koji obuhvata datu oblast. Dvostruko, kvadrat je četvorougao koji sadrži najveću površinu unutar datog perimetra.^[3] Ako su A i P povrsina i obim zatvoreni četverouglom, onda važi slijedeća izometrijska nejednakost:^[4]

Standardne koordinate

Koordinate tjemena kvadrata čiji se "centar" (presjek njegovih dijagonala) nalazi u koordinatnom početku i čija je stranica ${\displaystyle a=2}$ su (±1,±1), dok se koordinate ostalih tačaka imaju vrijednost od -1 do 1 (npr. tačka A (x,y) ${\displaystyle -1<x<1}$ i ${\displaystyle -1<y<1}$).

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

određuje granicu ovog kvadrata. Ova jednačina znači „x² ili y², koje god je veće, jednako je 1.” Poluprečnik kruga ovog kvadrata (poluprečnik kruga povučen kroz vrhove kvadrata) olovina dijagonale kvadrata i jednak je ${\displaystyle {\sqrt {2)).}$.Tada opisani krug ima jednačinu

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Osobine

Osobine kvadrata su:

• svaki ugao je pravi, od 90°.
• sve stranice su jednake
• Dijagonale kvadrata su jednake polove se i sijeku pod pravim uglom. Naime, ako su dijagonale romba jednake, taj romb je ustvari kvadrat.
• Dijagonala kvadrata je √2, (1,4142135623 ~ 1,41) puta duža od stranice kvadrata. d=a√2 Ova vrijednost je poznata kao Pitagorina konstanta, je prvi broj koji je prozvan iracionalnim.
• Ako je neka figura i pravougaonik i romb, onda je sigurno kvadrat.
• Ako je krug opisan oko kvadrata, površina kruga je π/2 (oko 1,57) puta veća od površine kvadrata.
• Ako je krug upisan u kvadrat, površina kruga je π/4 (oko 0,79) puta manja od površine kvadrata.
• Kvadrat ima veću površinu nego bilo koji pravilni mnogougao sa istim obimom.
• Kvadrat je jedan od tri pravilna mnogougla koji se mogu uklapati jedni u druge u ravni (druge dvije

figure su jednakostranični trougao i pravilni šestougao). Ovo je posljedica činjenice da su uglovi od 90° djelioci 360°

• Kvadrat je veoma simetrična figura. Postoje četiri ose simetrije, rotaciona simetrija kroz 90°, 180° i 270°.

Kvadrat se može upisati u bilo koji pravilan mnogougao. Jedini drugi poligon sa ovim svojstvom je jednakostranični trougao.

• Ako upisani krug kvadrata ABCD ima dodirne tačke E na AB, F na BC, G na CD, i H na DA, onda za bilo koju tačku P na upisanoj kružnici važi,^[5]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Ako je ${\displaystyle d_{i))$ rastojanje od proizvoljne tačke u ravni do i-tog tjemena kvadrata i ${\displaystyle R}$ je poluprečnik kruga kvadrata, onda je^[6]

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4)){4))+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2)){4))+R^{2}\right)^{2}.}$

• Ako su ${\displaystyle L}$ i ${\displaystyle d_{i))$ rastojanja od proizvoljne tačke u ravni do središta kvadrata i njegova četiri tjemena respektivno, onda je^[7]

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

i

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

gdje je ${\displaystyle R}$ poluprečnik kruga kvadrata.

Neeuklidska geometrija

U sferičnoj geometriji, kvadrat je mnogougao čija su tjemena veliki polulukovi jednakih distanci, koji se sijeku pod jednakim uglovima. Za razliku od planimetrijskog kvadrata, uglovi takvog kvadrata su veći od pravog ugla.

Također pogledajte

• Kocka
• Pitagorina teorema

Reference

Commons ima datoteke na temu: Kvadrat