Ett klot är en tredimensionell solid kropp vars begränsningsyta är en sfär.

Klotets volym kan beräknas med formeln^[1]

${\displaystyle V={4\pi r^{3} \over 3))$

där r är klotets radie.

En cylinder som omsluter ett klot har en volym som är 3/2 gånger klotets, vilket (tillsammans med formlerna för sfärens yta och klotets volym) redan Arkimedes kände till.

Mantelytan är^[1]

${\displaystyle A={4\pi r^{2))}$

Härledning av volymformeln

En halvcirkel med radien r och centrum i origo motsvarar funktionen (se Pythagoras sats)

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2))},x\in [-r,r]}$

Motsvarande rotationskropp har volymen

${\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx}$

Termerna separeras

${\displaystyle \int _{-r}^{r}\pi r^{2}dx-\int _{-r}^{r}\pi x^{2}dx}$

och de primitiva funktionerna blir

${\displaystyle \pi r^{2}\left[x\right]_{-r}^{r}-\pi \left[{\frac {x^{3)){3))\right]_{-r}^{r))$

Insättning av r och −r ger

${\displaystyle \pi (r^{3}-(-r^{3}))-\pi \left({\frac {r^{3)){3))-\left(-{\frac {r^{3)){3))\right)\right)={\frac {4}{3))\pi r^{3))$

Klot i analytisk geometri

Inom analytisk geometri beskrivs klotet i ett kartesiskt koordinatsystem med ekvationen

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\leq r^{2))$

där (a, b, c) är klotets medelpunkt och r är dess radie.

Referenser