n | n! |
---|---|
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40320 |
9 | 362880 |
10 | 3628800 |
15 | 1307674368000 |
20 | 2432902008176640000 |
25 | 1.5511210043×1025 |
50 | 3.0414093202×1064 |
70 | 1.1978571670×10100 |
100 | 9.3326215444×10157 |
170 | 7.2574156153×10306 |
171 | 1.2410180702×10309 |
450 | 1.7333687331×101 000 |
1000 | 4.0238726008×102 567 |
3249 | 6.4123376883×1010 000 |
10000 | 2.8462596809×1035 659 |
25206 | 1.2057034382×10100 000 |
100000 | 2.8242294080×10456 573 |
205023 | 2.5038989317×101 000 004 |
1000000 | 8.2639316883×105 565 708 |
1.0248383838×1098 | 101.0000000000×10100 |
10100 | 109.9565705518×10101 |
1.7976931349×10308 | 105.5336665775×10310 |
Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.
Døme:
Formelt kan ein definere n-fakultet som
eller rekursivt ved
Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet
Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...
Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved
Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som
Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,
Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,
Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.
Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved
For heile, positive tal og null gjeld det at
Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.