Una successione numerica è una funzione il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali o un suo sottoinsieme. È definita da una legge che permette di associare ad ogni numero naturale dell'insieme, uno ed un solo numero reale.

Se tutti gli elementi di una successione sono minori, o uguali, di un numero reale L tale che

${\displaystyle \forall n}$ a_n ≤ L

la successione è limitata superiormente. Se ${\displaystyle \forall n}$ a_n ≥ l -> limitata inferiormente Se ${\displaystyle \forall n}$ l ≤ a_n ≤ L -> limitata

Se i termini di una successione crescono al crescere dell'indice ( i < j => a_i < a_j ) la successione è crescente. Se i < j => a_i > a_j, la successione è decrescente. Se una successione è crescente o decrescente, anche debolmente, la si definisce monotona. Se no è oscillante.

Si dice che una successione di elementi ha per limite ${\displaystyle +\infty }$, al tendere di n a ${\displaystyle +\infty }$, quando prefissato un numero M > 0, è possibile determinare un numero n_M tale che, per ogni numero naturale n > n_M, sia verificata a_n > M. In tal caso la successione è positivamente divergente.

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=+\infty }$

Se: M > 0, ${\displaystyle \forall n>n_{M))$ a_n < -M

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=-\infty }$

è negativamente divergente.

Se

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=l}$

convergente.

1. Se una successione crescente è limitata superiormente, essa è convergente.
2. Se una successione descrescente è limitata inferiormente, essa è convergente.
3. Se una successione crescente è illimitata superiormente, essa diverge positivamente.
4. Se una successione decrescente è illimitata inferiormente, essa diverge negativamente.

Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico o insieme lineare dei punti e i suoi elementi sono indistintamente numeri o punti corrispondenti della retta.

• [a;b] Intervallo chiuso
• (a;b) Intervallo aperto
• (a;b] Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
• [a;b) Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
• ${\displaystyle \left[a;+\infty \right)}$ Intervallo chiuso illimitato superiormente
• ${\displaystyle \left(a;+\infty \right)}$ Intervallo aperto illimitato superiormente
• ${\displaystyle \left(-\infty ;a\right]}$ Intervallo chiuso illimitato inferiormente
• ${\displaystyle \left(-\infty ;a\right)}$ Intervallo aperto illimitato inferiormente

I valori interni sono quelli che appartengono all'intervallo. I valori esterni non vi appartengono.

Si chiama intorno completo di un punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto contenente x₀. Se l'intorno I(x₀) è simmetrico rispetto a x₀ si parla di intorno circolare di x₀.
Si dice intorno sinistro del punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo destro. Si dice intorno destro del punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto avente x₀ come estremo sinistro.

Un ins numerico A si dice superiormente limitato quando esiste un numero K tale che ogni elemento dell'insieme è minore o uguale a K. Se A è superiormente limitato, K è un maggiorante di A. Quando A non è limitato superiormente è illimitato superiormente.
Un insieme numerico A si dice inferiormente limitato quando esiste un numero h tale che ogni elemento dell'insieme è maggiore o uguale a h. Se A è inferiormente limitato, h è un minorante di A. Quando A non è limitato inferiormente è illimitato inferiormente.
Se un insieme numerico A è limitato sia inferiormente che superiormente, lo si definisce limitato.

Un insieme A è limitato se e solo se è limitato l'insieme dei valori assoluti dei suoi elementi.

Se A è un insieme limitato sueriormente , l'insieme dei suoi maggioranti è dotato di minimo. Se A è un insieme limitato inferiormente , l'insieme dei suoi minoranti è dotato di massimo.

Se un insieme numerico A contiene un elemento che è il più grande (o il più piccolo) di tutti gli altri elementi, tale elementoè detto massimo (o minimo) dell'insieme.

L'estremo superiore di un insieme è un numero L, se esiste, tale che:

• ogni elemento dell'insieme è minore o uguale ad L (L è maggiorante di A)
• comunque si scelga un numero e > 0 arbitrariamente piccolo, esiste almeno un elemento dell'insieme che sia maggior di L-e (L-e non è maggiorante)

Se l'insieme A è superiormente illimitato non ammette estremo superiore: Sup A = ${\displaystyle +\infty }$. Se l'insieme A è superiormente limitato il suo estremo superiore L può appartenere o meno ad A. Se appartiene ad A è l'elemento massimo.

${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists x:L-\epsilon <f(x)<L}$

Analogamente, l'estremo inferiore dell'insieme A è un numero l, se esiste, tale che:

• ogni elemento dell'insieme è maggiore o uguale a l (l è minorante di A)
• comunque si scelga un numero e > 0, arbitrariamente piccolo, esiste almeno un elemento dell'insieme che sia minore di l+e (l+e non è minorante)

Se l'insieme A è illimitato inferiormente, non ammette estremo inferiore: Inf A = ${\displaystyle -\infty }$. Se l'insieme è limitato inferiormente il suo estremo inferiore l può appartenere o meno ad A. Se appartiene è detto minimo.

${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists x:l<f(x)<l+\epsilon }$

Un numero c è isolato se esiste un intorno di c che non contiene altri punti di A. Un punto c, che può anche non appartenere all'insieme è di accumulazione per A, se in ogni intorno di c esiste almeno un elemento di A distinto da c.

Dati due insiemi non vuoti X e Y, si chiama applicazione o funzione da X a Y una relazione tra i due insiemi che ad ogni ${\displaystyle x\in X}$ fa corrispondere uno ed un solo ${\displaystyle y\in Y}$.

L'insieme X è il dominio della funzione, mentre il codominio è il sottoinsieme di Y formato dagli elementi che hanno almeno una controimmagine in X.

• Funzione pari: una funzione f di dominio D si dice pari se ${\displaystyle \forall x\in D,f(-x)=f(x)}$
• Funzione dispari: una funzione f di dominio D si dice dispari se ${\displaystyle \forall x\in D,f(-x)=-f(x)}$
• Funzione biunivoca: una funzione d di dominio D e codominio C è biunivoca quando ogni elemento del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio.
• Funzione inversa: si chiama inversa di una funzione biunivoca f, f^-1, la corrispondenza che ad ogni elemento del codominio di f fa corrispondere la sua unica controimmagine.
• Funzione periodica: si dice che una funzione y=f(x) è periodica di periodo T (T>0) se per qualsiasi numero intero relativo K si ha ${\displaystyle f(x+kT)=f(x)}$

Una funzione y=f(x) si dice crescente in senso stretto nell'intervallo I, se ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in I,x_{1}<x_{2}=>f(x_{1})<f(x_{2})}$ Una funzione si dice crescente in senso lato se ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$

Analogamente le funzioni descrescenti in senso stretto ed in senso lato.

Quando una funzione è crescente o decrescente in senso stretto in un intervallo I, si dice che è strettamente monotona in I. Quando è crescente o decrescente in senso lato, è una funzione monotona in senso lato.

Una funzione si dice limitata in D se l'insieme numerico C=f(D) risulta limitato. Se C è illimitato superiormente la funzione si dice illimitata superiormente, e vice versa. Un insieme numerico ammette sempre gli estremi (eventualmente l'infinito). Se l'insieme f(D) ammette massimo e minimo questi son detti massimo e minimo assoluti.

Una funzione f(x) è continua nel punto x=c se ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}$.

• Prima specie: Esistono finiti, ma diversi tra loro, i limiti da destra e sinistra per x -> c.
• Seconda specie: Non esiste, o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o sinistra di c.
• Terza specie (eliminabile): Esiste finito il limite x->c di f(x) ma f(c) o non esiste o è diverso dal valore del limite.

Considerata una funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ in un intorno I di x₀, si aumenti x₀ di h in modo che ${\displaystyle x_{0}+h\in I}$. Il rapporto incrementale di f(x) relativo al punto x₀ e all'incremento h è:

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h))}$

Se ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h))}$
esiste ed è finito, si dice che la funzione è derivabile in x₀. Tale limite ha il nome di derivata della funzione per x = x₀ e viene indicato con ${\displaystyle f'(x_{0})}$

Il coefficiente angolare della tangente (t) in un punto è dato da ${\displaystyle m_{t}={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h))}$

Esempio: ${\displaystyle f(x)=2x^{2}-3}$
Il coefficiente angolare nel punto x₀ = 1 è ${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2(1+h)^{2}-3-2+3}{h))={\frac {4h+2h^{2)){h))={\frac {h(4+2h)}{h))=4}$