La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.
La trasformata di Mellin di una funzione
è data da:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {M))f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d7390fb7cebfd098aecbb105aaa0634b7474253)
Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {M))^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1d788c032084cb60e9de97421060cd35d0ff08)
dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.
La trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {M))f\right\}(s)=\left\((\mathcal {L))f(e^{-x})\right\}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce2783f3e975195f07843f00e916377c366d11d)
e viceversa, la trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {L))f\right\}(s)=\left\((\mathcal {M))f(-\ln x)\right\}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c40991de4ff401ea26d05273d62f75d3492907f)
La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva
, che è invariante sotto traslazione:
![{\displaystyle d(x+a)=dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a032ebf9d321f3f2bada8516ad6d58921e7b68)
mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale
rispetto alla misura di Haar moltiplicativa
, che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo
, e dunque:
![{\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax))={\frac {dx}{x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01379b3ec79509a51950ffcda3e274d93f180adc)
La trasformata di Mellin si può anche definire in termini della trasformata di Fourier:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {M))f\right\}(s)=\left\((\mathcal {L))f(e^{-x})\right\}(s)=\left\((\mathcal {F))f(e^{-x})\right\}(-is)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf369a3539112af76736588bda03911b36544a4e)
e viceversa:
![{\displaystyle \left\((\mathcal {F))f\right\}(-s)=\left\((\mathcal {L))f\right\}(-is)=\left\((\mathcal {M))f(-\ln x)\right\}(-is)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be53cfe188b3e9e52fcbfc979234cede8029eb9)
- (EN) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e F. Tricomi Tables of Integral transforms v. 1 (McGrawHill, NY, 1954)
- (EN) A. H. Zemanian Generalized Integral Transformations cap. 4 (John Wiley & Sons, 1968)
- (EN) I. N. Sneddon Fourier Transforms cap. 1 (Dover, NY, 1995)
- (EN) R. B. Paris e D. Kaminski, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
- (EN) A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998, ISBN 0-8493-2876-4.
- (EN) P. Flajolet, X. Gourdon e P. Dumas, Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums, in Theoretical Computer Science, vol. 144, n. 1-2, 1995, pp. 3–58.
- (EN) Janos Galambos e Italo Simonelli, Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions, Marcel Dekker, Inc., 2004, ISBN 0-8247-5402-6.
- (EN) Mellin Transform and Its Applications (Università Purdue)
- (EN) Trasformata di Mellin (MathWorld)
- (EN) Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- (EN) Trasformata di Mellin (EqWorld)
- (EN) G. L. Porter http://handle.dtic.mil/100.2/ADA319175[collegamento interrotto] (Tesi di Laurea, Air Force Institute of Technology, Wright Paterson, OH, 1997)
- (EN) T. A. Loughlin A table of distributional Mellin transforms (State University of New York, Stony Brook, 1965)
- (EN) A. H. Zemanian The distributional Laplace and Mellin transformations (State University of New York, Stony Brook, 1964)
- (EN) Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.
- (ES) Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas
- (ES) Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas Archiviato il 29 gennaio 2007 in Internet Archive. (in Spanish).
- (EN) Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology
- (EN) Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A FAST MELLIN TRANSFORM WITH APPLICATIONS IN DAFX