In matematica, il raggio spettrale di una matrice o di un operatore lineare limitato è l'estremo superiore della norma del modulo degli elementi del suo spettro. Spesso è denotato con
.
In analisi numerica il raggio spettrale viene utilizzato per determinare se un metodo iterativo è convergente verso la soluzione di un problema. È dimostrato infatti che un metodo iterativo per la risoluzione di un sistema lineare (come il metodo di Jacobi o quello di Gauss-Seidel) converge alla soluzione del sistema se e solo se il raggio spettrale della matrice di iterazione è strettamente minore di 1.
Siano
autovalori (reali o complessi) di una matrice
. Allora il suo raggio spettrale
è definito come:
![{\displaystyle \rho (A)\equiv \max _{i}(|\lambda _{i}|)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f888d1a5351247a1cb96dd8410fc8a7be0868ac)
Un limite superiore per il raggio spettrale è dato dal seguente lemma. Sia
una matrice complessa,
il suo raggio spettrale e
una norma matriciale consistente. Allora per ogni
si ha:
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce52fce705324b2781e303705605b3309d8cb82)
Infatti, sia
una coppia autovettore-autovalore relativi ad
. Per la proprietà sub-moltiplicativa della norma matriciale:
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b1c00c142ef9d33f61fa1e532484ba75c2ed4c)
e dato che
per ogni
si ha:
![{\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915c9e417c93eff4d6a011f688ce277be523572b)
e dunque:
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce52fce705324b2781e303705605b3309d8cb82)
come si voleva mostrare.
Il raggio spettrale è strettamente legato al comportamento della convergenza della successione delle potenze di una matrice. In pratica, vale il seguente teorema. Sia
una matrice complessa e
il suo raggio spettrale. Allora
se e solo se
. Inoltre, se
allora
non è limitato per valori di
crescenti.
Per mostrare che
implica
, sia
una coppia autovettore-autovalore relativi ad
. Dato che:
![{\displaystyle A^{k}\mathbf {v} =\lambda ^{k}\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe3c0ed220b3e8fb60d58777339321d248e0145c)
si ha:
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }A^{k}\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83375d1eec9db7368e6deedab711e925a0eafeb)
e dato che per ipotesi
si verifica:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45f4737182faa5a052d3e5e094f2542c7d9e8308)
che implica
. Poiché questo deve essere vero per ogni autovalore, succede che
.
Per mostrare che
implica
, dal teorema di Jordan segue che per ogni matrice a valori nel campo complesso
esistono una matrice non singolare
e una matrice diagonale a blocchi
tali che:
![{\displaystyle A=VJV^{-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74aab06e275e435d889d94c3c901bbeaf77c574)
con:
![{\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1))(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2))(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1))(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s))(\lambda _{s})\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27088ccfc3c25faaf88d2a95c72bfcf160d9ec98)
dove:
![{\displaystyle J_{m_{i))(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix))\in \mathbb {C} ^{m_{i},m_{i))\qquad 1\leq i\leq s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20e7da84d7f660bd3659b76af7266f1b079f2946)
Si vede facilmente che:
![{\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cb703fbd219bb1fe8fa9a41370aac5dfc64185)
e dato che
è diagonale a blocchi:
![{\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1))^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2))^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1))^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s))^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a2d2009069d49fbfdbb54c4e2ba604fc8f6a4b)
Un noto risultato riguardante la k-esima potenza di un blocco di Jordan
stabilisce che per
si ha:
![{\displaystyle J_{m_{i))^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38992a13c6b8f28661f8d60dd818bddf9eae7a1a)
In questo modo, se
allora
per ogni
, sicché:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i))^{k}=0\ \forall i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adf3a08ecbe30cf12bd8d829a5f726ee6b4b21a)
e questo implica:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83514cc1c75c41c0fb2274d919846664e774a403)
Quindi:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V(\lim _{k\to \infty }J^{k})V^{-1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3a11246b0d0ff66acf9bfc6191ef5fa9c474e7)
D'altra parte, se
allora vi è almeno un elemento in
che non rimane limitato per
crescente, concludendo la dimostrazione.
La formula di Gel'fand (1941) stabilisce che per ogni norma matriciale
si ha:
![{\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5079a2dac94566053525fe7fb3131f9672da9e)
In altri termini, mostra come il raggio spettrale di
fornisca l'entità della crescita asintotica della norma di
, cioè:
![{\displaystyle \|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a677e970a32510e9d469cdc079c5fff01d0766)
per
.
Per la dimostrazione, si consideri la matrice:
![{\displaystyle {\tilde {A))=(\rho (A)+\epsilon )^{-1}A\qquad \epsilon >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369b612245c8a66cf86b7a78776f6285846f5a5a)
Allora:
![{\displaystyle \rho ({\tilde {A)))={\frac {\rho (A)}{\rho (A)+\epsilon ))<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f88f91c730c6d78db7f079bb3dc901a3c18f6d)
e per il teorema precedente:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tilde {A))^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d970f132701563d412cddd8a29569be8051abd)
Per la definizione di limite di una successione, esiste un numero naturale
tale per cui:
![{\displaystyle \|{\tilde {A))^{k}\|<1\qquad \forall k\geq N_{1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ccc0538ce39eb92992dcc277bf7ecc27f1f5be)
che implica:
![{\displaystyle \|A^{k}\|<(\rho (A)+\epsilon )^{k}\qquad \forall k\geq N_{1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac6463b81479c76d805ebe2f1b66e392e6a9caf)
o equivalentemente:
![{\displaystyle \|A^{k}\|^{1/k}<(\rho (A)+\epsilon )\qquad \forall k\geq N_{1))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19138bd97793fabd1abcfe1691d70f5eb7165793)
Considerando ora la matrice:
![{\displaystyle {\check {A))=(\rho (A)-\epsilon )^{-1}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507593cf5c9d150c9d2fdc8aa234110b7f951f70)
in modo analogo si ha:
![{\displaystyle \rho ({\check {A)))={\frac {\rho (A)}{\rho (A)-\epsilon ))>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c148ef7ce4ee01685f1bccb35278fa0e0fcfd9)
e per il teorema precedente
non è limitata. Esiste quindi
tale per cui:
![{\displaystyle \|{\check {A))^{k}\|>1\qquad \forall k\geq N_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ae74925f31633f421e062f00b6ef90c1474562)
che implica:
![{\displaystyle \|A^{k}\|>(\rho (A)-\epsilon )^{k}\qquad \forall k\geq N_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4400b8e80a632927cfcd27826c917b52640bb779)
o:
![{\displaystyle \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon )\qquad \forall k\geq N_{2))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473de32dbc3c8a7a45b53420423d925ecd28e549)
Considerando:
![{\displaystyle N:=\max(N_{1},N_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e95ebd7ff004dbd6e9d945ac6c6939f0426a66)
allora per ogni
esiste
tale che per ogni
:
![{\displaystyle \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d117ebc05a61fe9cdf871cf3fade44a34fc111a6)
dunque:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d0a9ff8e534f180f9fc6b982e07bec2a5a8d2d)
come si voleva mostrare.
La formula di Gel'fand conduce direttamente ad un limite per il raggio spettrale del prodotto di infinite matrici. Nello specifico, assumendo che esse commutano reciprocamente:
![{\displaystyle \rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce410f9747dac666a6754e0c7ad3629383e9a379)
Inoltre, nel caso la norma matriciale sia consistente, grazie al lemma enunciato in precedenza si può rimpiazzare, nella definizione del limite, il limite inferiore sinistro con il raggio spettrale stesso. Quindi per ogni
esiste
tale per cui:
![{\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon \qquad \forall k\geq N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e447338ef9a169f0ad2b62ac43bf000f2379f5b)
e dunque:
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a809c3bd5522e6efbec2a23a07472c92a344e1)
Per un operatore lineare limitato
e una norma operatoriale
, il raggio spettrale
di
è dato dalla formula di Gel'fand.
Si consideri la matrice:
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae8150bc3547234fec48b47eceaef02b231a4db)
i cui autovalori sono 5, 10, 10. Per definizione, il suo raggio spettrale è
. Nella tabella che segue sono riportati i valori di
per le quattro norme più utilizzate, ordinati per
crescente. Si nota che a causa della particolare forma della matrice
.
k
|
|
|
|
1
|
14
|
15.362291496
|
10.681145748
|
2
|
12.649110641
|
12.328294348
|
10.595665162
|
3
|
11.934831919
|
11.532450664
|
10.500980846
|
4
|
11.501633169
|
11.151002986
|
10.418165779
|
5
|
11.216043151
|
10.921242235
|
10.351918183
|
|
|
|
|
10
|
10.604944422
|
10.455910430
|
10.183690042
|
11
|
10.548677680
|
10.413702213
|
10.166990229
|
12
|
10.501921835
|
10.378620930
|
10.153031596
|
|
|
|
|
20
|
10.298254399
|
10.225504447
|
10.091577411
|
30
|
10.197860892
|
10.149776921
|
10.060958900
|
40
|
10.148031640
|
10.112123681
|
10.045684426
|
50
|
10.118251035
|
10.089598820
|
10.036530875
|
|
|
|
|
100
|
10.058951752
|
10.044699508
|
10.018248786
|
200
|
10.029432562
|
10.022324834
|
10.009120234
|
300
|
10.019612095
|
10.014877690
|
10.006079232
|
400
|
10.014705469
|
10.011156194
|
10.004559078
|
|
|
|
|
1000
|
10.005879594
|
10.004460985
|
10.001823382
|
2000
|
10.002939365
|
10.002230244
|
10.000911649
|
3000
|
10.001959481
|
10.001486774
|
10.000607757
|
|
|
|
|
10000
|
10.000587804
|
10.000446009
|
10.000182323
|
20000
|
10.000293898
|
10.000223002
|
10.000091161
|
30000
|
10.000195931
|
10.000148667
|
10.000060774
|
|
|
|
|
100000
|
10.000058779
|
10.000044600
|
10.000018232
|
- (EN) Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1115-1116, 2000.