In fisica, la radiazione di dipolo elettrico è la radiazione elettromagnetica prodotta da un dipolo elettrico accelerato. Se oscillante è detto, solitamente, dipolo oscillante o antenna dipolare.

Lo studio del dipolo elettrico si basa sullo sviluppo in multipoli del potenziale elettrico generato da una distribuzione di carica e corrente oscillante nel tempo.

La descrizione della radiazione prodotta dal dipolo è basata sull'espressione dei potenziali ritardati, che vengono definiti a partire dai potenziali scalare (o elettrico) e vettore validi nei casi stazionari, e che tengono conto del fatto che gli effetti dovuti a variazioni delle sorgenti si propagano nel campo non istantaneamente.

Il comportamento del dipolo oscillante è governato dalla seguente relazione:

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\sin(\omega t+\phi )}$

dove ${\displaystyle \mathbf {p} _{0))$, il momento di dipolo massimo del dipolo oscillante, è diretto come l'asse z. Il potenziale vettore ritardato generato dal dipolo è fornito dall'integrale sulle variabili primate, con tau il volume del conduttore di cui è formato il dipolo:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {\mathbf {J} \left(t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} \,'|}{c))\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \,'|))\operatorname {d} \tau '}$

Il campo di maggiore interesse è quello lontano dal dipolo, e pertanto si trascura ${\displaystyle \mathbf {r} \,'}$ rispetto a ${\displaystyle \mathbf {r} }$, che diventa una costante e viene estratto dall'integrale. Il risultato che si ottiene è:

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac ((\dot {\mathbf {p} ))\left(t-{\frac {r}{c))\right)}{r))={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {\omega \mathbf {p} _{0)){r))\cos \left(\omega (t-{\frac {r}{c)))\right)}$

Imponendo la validità del gauge di Lorenz si mostra il potenziale scalare ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t))=-c^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}\mu _{0))}{\frac {\partial A_{z)){\partial z))={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))}\left({\frac {\ddot {p)){cr))+{\frac {\dot {p)){r^{2))}\right){\frac {z}{r))}$

${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0))}\left({\frac {\dot {p)){cr))+{\frac {p}{r^{2))}\right){\frac {z}{r))}$

I campi elettrico e magnetico generati dal dipolo si ottengono dal rotore di ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e dal gradiente di ${\displaystyle V}$. In coordinate sferiche, essi prendono la forma:

${\displaystyle E_{r}={\frac {2\cos \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r^{2))}\left({\frac {\dot {p)){c))+{\frac {p}{r))\right)\qquad B_{r}=0}$

${\displaystyle E_{\theta }={\frac {\sin \theta }{4\pi \varepsilon _{0}r))\left({\frac {\ddot {p)){c^{2))}+{\frac {\dot {p)){cr))+{\frac {p}{r^{2))}\right)\qquad B_{\theta }=0\ }$

${\displaystyle E_{\phi }=0\qquad B_{\phi }={\frac {\mu _{0)){4\pi )){\frac {\sin \theta }{r))\left({\frac {\ddot {p)){c))+{\frac {\dot {p)){r))\right)}$

Da queste espressioni si vede come ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ siano punto per punto ortogonali. Le linee di forza di ${\displaystyle \mathbf {B} }$ sono circonferenze centrate intorno all'asse z, mentre ${\displaystyle \mathbf {E} }$ giace nel piano formato dal raggio vettore ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e z.

Per calcolare l'energia associata ai campi si utilizza il vettore di Poynting:

${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0))))$

le cui componenti sono:

${\displaystyle S_{r}={\frac {\sin ^{2}\theta }{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3))}\left({\frac {\ddot {p)){r))\right)^{2}-{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0))}\left[2{\frac ((\ddot {p)){\dot {p))}{c^{2}r))+{\frac ((\dot {p))p}{r^{3))}+{\frac {({\ddot {p))p+{\dot {p))^{2})}{cr^{2))}\right]{\frac {\sin ^{2}\theta }{r^{2))))$

${\displaystyle S_{\theta }={\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0))}\left[{\frac ((\ddot {p)){\dot {p))}{c^{2}r))+{\frac ((\dot {p))p}{r^{3))}+{\frac {({\ddot {p))p+{\dot {p))^{2})}{cr^{2))}\right]{\frac {2\sin \theta \cos \theta }{r^{2))))$

${\displaystyle S_{\phi }=0}$

Calcolando la media temporale della componente radiale su un periodo, i termini delle parentesi quadre si annullano e la media del vettore è:

${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {\sin ^{2}\theta }{32\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3))}\left({\frac {\ddot {p)){r))\right)^{2}{\hat {r))}$

I termini che si annullano nell'operazione di media non contribuiscono invece alla propagazione e sono detti termini di campo vicino. La potenza media irraggiata vale:

${\displaystyle \langle P\rangle ={\frac {\omega ^{4}p_{0}^{2)){2)){\frac {\mu _{0)){6\pi c))={\frac {\mu _{0)){6\pi c)){\bar {\ddot {p))}^{2))$

mentre la potenza totale emessa è data da:^[1]

${\displaystyle P={\frac {\omega ^{4}|\mathbf {p} |^{2)){12\pi \varepsilon _{0}c^{3))))$

nota anche come equazione di Larmor.

• (EN) John D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3ª ed., Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.

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• Vettore di Poynting

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