In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.
La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è
- .
La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece
I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come:
dove denota la differenziazione rispetto alla e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.
Allo stesso modo, i polinomi di Eulero sono dati da:
Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente:
Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha
dove denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della
Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da:
I numeri di Bernoulli sono dati da
A loro volta i numeri di Eulero sono dati da
I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:
I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono:
I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:
Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:
Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste successioni polinomiali è una sequenza di Appel. Un altro esempio di queste successioni è fornito dai polinomi di Hermite.
La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz
Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha
Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.
Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti dalle
dove e
denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:
dove
denota il numero di Stirling di prima specie.
Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:
Integrali indefiniti
Integrali definiti