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Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

Un monoide è un insieme ${\displaystyle M}$ munito di una singola operazione binaria ${\displaystyle *}$ che ad ogni coppia di elementi ${\displaystyle a,b\in M}$ associa l'elemento ${\displaystyle a*b,}$ rispettando i seguenti assiomi:

Chiusura

Per ogni ${\displaystyle a,b\in M,}$ l'elemento ${\displaystyle a*b}$ appartiene ancora a ${\displaystyle M,}$ vale a dire che ${\displaystyle M}$ è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma).

Associatività

Il prodotto è associativo: dati ${\displaystyle a,b,c\in M,}$ vale ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$ (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo).

Elemento neutro

Esiste in ${\displaystyle M}$ un elemento neutro ${\displaystyle e}$ tale che ${\displaystyle a*e=e*a=a}$ per ogni ${\displaystyle a\in M.}$

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$ sono entrambi elementi neutri, si ha ${\displaystyle f=e*f=e}$, dove la prima eguaglianza segue dal fatto che ${\displaystyle e}$ è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è ${\displaystyle f}$.

Un monoide è quindi un semigruppo unitario, ovvero un magma associativo unitario.

Un monoide con base (ossia un insieme di elementi che generano il monoide e che non possono essere ottenuti dagli altri elementi della base) si definisce monoide libero.

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.

Un elemento ${\displaystyle a}$ del monoide ${\displaystyle M}$ si dice invertibile se esiste in ${\displaystyle M}$ un suo inverso, cioè un elemento ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle M}$ tale che ${\displaystyle a*b=b*a=e}$. Se esiste, questo elemento ${\displaystyle b}$ è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di ${\displaystyle a}$. Infatti se ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ sono entrambi inversi di ${\displaystyle a}$, si ha ${\displaystyle b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c}$, dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che ${\displaystyle c}$ è un inverso di ${\displaystyle a}$, dalla proprietà associativa, dal fatto che ${\displaystyle b}$ è un inverso di ${\displaystyle a}$, e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide ${\displaystyle M}$ è invertibile, allora ${\displaystyle M}$ è un gruppo.

Più in generale, sia ${\displaystyle M}$ un monoide qualsiasi, e sia ${\displaystyle G}$ l'insieme degli elementi invertibili di ${\displaystyle M}$. Intanto, ${\displaystyle G}$ non è vuoto, perché si vede subito che contiene ${\displaystyle e}$. E poi si può vedere che ${\displaystyle G}$ è un gruppo rispetto alla stessa operazione di ${\displaystyle M}$. Il gruppo ${\displaystyle G}$ viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide ${\displaystyle M}$.

• L'insieme dei numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.

• Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni ${\displaystyle f\colon X\to X}$ definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione ${\displaystyle (f(g))(x):=(f\circ g)(x)=f(g(x))}$. L'elemento neutro è dato dalla funzione identità ${\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X,}$ con ${\displaystyle \mathrm {id} (x):=x.}$ Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.

• Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine ${\displaystyle n}$ su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.

• Maria Silvia Lucido e Dikran Dikranjan, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-88-207-4098-6, OCLC 849179510.
• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581.

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• monoide, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• monoide, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• Luca Tomassini, monoide, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• monòide, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
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• (EN) Opere riguardanti Monoids, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Monoid, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Monoid, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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