In algebra lineare una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole, o più comunemente matrice a diagonale dominante (o dominante diagonale), è una matrice quadrata
di ordine
i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:
![{\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f389e1ddf9cb4ba83e0c93d3dd0b538bd62f0a2)
Qualora tale relazione valga in senso stretto, ossia
![{\displaystyle |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e199472def3b7b1c3cad3f58ec92973d60d70e04)
la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe, o fortemente dominante diagonale.
Quando le stesse definizioni vengono date per colonne, ossia
![{\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|\qquad {\text{e))\qquad |a_{ii}|>\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ji}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689e38926bb6aaefa51d3e051706c21a9d23f9c3)
si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante per colonne in senso debole (o dominante diagonale per colonne) e una matrice a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per colonne (o fortemente dominante diagonale per colonne).
Una matrice quadrata
si dice irriducibilmente dominante diagonale (i.d.d.) per righe se:
è una matrice irriducibile per permutazioni,
è una matrice a diagonale dominante per righe in senso debole,
- Vale la disuguaglianza stretta per almeno un indice
, ovverosia esiste un
tale per cui
.
Analogamente si definisce una matrice i.d.d. per colonne. Per il terzo teorema di Gershgorin, una matrice i.d.d. è sempre non singolare.
Valgono i seguenti teoremi:
- Una matrice
è a diagonale dominante (in senso stretto) per righe se rispettivamente
lo è per colonne.
- Analogamente una matrice
è a diagonale dominante (in senso stretto) per colonne se rispettivamente
lo è per righe.
- Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile). Questa è una conseguenza del primo teorema di Gershgorin. Non vale per forza lo stesso per una matrice a diagonale dominante in senso debole: per esempio,
non è invertibile.
- Se
è una matrice a diagonale dominante la sua fattorizzazione
può essere ottenuta senza pivoting.
- Se
è fortemente dominante diagonale o i.i.d., allora
per ogni
[1].
- Ogni sottomatrice principale[2] di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.
- ^ Nel primo caso, la dimostrazione è banale. Nel secondo è necessario mostrare che su ogni riga deve esistere almeno un elemento non diagonale che non è nullo, ed è sufficiente mostrare che altrimenti il grafo associato ad
non sarebbe fortemente connesso.
- ^ Ovverosia una sottomatrice quadrata ottenuta eliminando righe e colonne di uguale indice.
- ^ Per il primo teorema di Gershgorin,
ha autovalori stanti nel semipiano
. Dacché
è simmetrica (o hermitiana), tali autovalori sono reali, e dunque positivi. Allora, come conseguenza del teorema spettrale,
è definita positiva.