Il logaritmo naturale (o logaritmo neperiano) è il logaritmo in base e, dove è uguale a Il logaritmo naturale è definito per tutte le reali e positive, ma anche per i numeri complessi diversi da zero[1].
Se la funzione esponenziale è stata definita usando una serie infinita, il logaritmo naturale può essere definito come la sua funzione inversa, intendendo che è il numero per cui . Dal momento che il dominio della funzione esponenziale include tutti i numeri reali positivi e poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente, questa è definita per tutte le reali positive.
In alternativa è possibile definire il logaritmo come segue: il logaritmo naturale di è l'area sottesa dal grafico di da ad . In altre parole, è il valore dell'integrale
Questo definisce il logaritmo perché soddisfa la proprietà fondamentale dei logaritmi:
Questo può essere dimostrato definendo e mediante la regola della sostituzione degli integrali, come segue:
Il numero può essere definito come l'unico numero reale tale che
In matematica si è soliti utilizzare la scrittura "" per intendere altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (ad esempio è il logaritmo in base di ).[2][3][4][5][6]
In ingegneria, biologia e altre scienze generalmente si scrive "" o (raramente) "" per intendere il logaritmo naturale di , mentre si scrive "" per intendere
In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: [1].
In altre parole, la funzione logaritmo è la corrispondenza biunivoca dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un isomorfismo da un gruppo di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da , non solo , inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
Applicando la trasformazione binomiale alla serie di Taylor si ottiene la seguente serie, valida per ogni con valore assoluto maggiore di :
Si noti inoltre che è la sua stessa funzione inversa, quindi per ottenere il logaritmo naturale di un certo numero è sufficiente sostituire al posto di .
Una serie esotica dovuta a Bill Gosper è la seguente:
Un altro procedimento per la stima di è fornito dall'algoritmo Newton-Raphson: è la soluzione dell'equazione , che partendo da una approssimazione arbitraria , si può ottenere iterativamente trovando un'approssimazione successiva, progressivamente più vicina.
Al posto dell'esponenziazione è possibile sfruttare o la serie di Taylor per l'esponenziale, o il limite fondamentale per ottenere risultati algebrici.[9]
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve per parti[10]:
Il logaritmo naturale è fondamentale per rapide integrazioni di funzioni della forma che si traducono nella scrittura : l'integrale di una derivata fratto la sua funzione è uguale al logaritmo naturale del valore assoluto di quella funzione. Si tratta della diretta conseguenza della regola di derivazione per le funzioni composte, ossia:
Prima della diffusione delle calcolatrici, la formula del cambio di base logaritmica [13] era necessaria per il calcolo dei logaritmi neperiani, riportandoli su base . È ancora utile per ottenere l'ordine di grandezza di un numero neperiano (che è appunto una potenza di ):
che diventa:
Alla fine delle tavole dei logaritmi, la tabella di trasformazione riportava i valori di:
^ab Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN88-80-13173-7. p.402
^ Walter Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill Libri Italia, 1953, p. 60.
^ Paolo Marcellini e Carlo Sbordone, Elementi di analisi matematica uno, Liguori, 2002, p. 33.
^ Carlo Pagani e Sandro Salsa, Analisi, vol. I, Masson, 1995, p. 192.
^ Nicolas Bourbaki, Elements of Mathematics. Functions of a real variable, Springer, 2004, p. 92.
Carla Maderna e Paolo Maurizio Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN88-251-7090-4.
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Corso Base Blu di Matematica-Volume 5, Zanichelli, 2009, ISBN978-88-08-03933-0.
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN978-88-538-0433-4.
Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e Corvi, 1995, ISBN88-80-13173-7.
(EN) A. W. Knapp (2005): Basic Real Analysis, Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6