Definizione
Si definisce elemento di volume in
la k-forma:
![{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {V} _{k}=\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a38ab2435e202565d8f4f3f36740ad692b97a1)
Sia
una k-superficie positivamente orientata in
e
una funzione continua definita sull'immagine di
e a valori in
. Allora:
![{\displaystyle \int _{S}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{k))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51078227df5dfd11978b2881846f480805ee90cc)
Sia
il dominio di parametrizzazione di
e
iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana
positiva. Allora:[1]
![{\displaystyle \int _{S(D)}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{D}f(S(\mathbf {u} ))\left|J_{S}(\mathbf {u} )\right|\;\mathrm {d} \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4d8d31b439faa6257e364d94b6f94cb3a14ee9)
Se
l'integrale fornisce il volume della superficie.
Integrale di funzioni su 2-superfici in
Sia
una 2-superficie in
con dominio di parametrizzazione
. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni
,
e
di due variabili indipendenti
e
:
![{\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480d1bd5a643cc0354b0443512bfd6cd1e26b7f8)
Sia:
![{\displaystyle f:S(D)\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b573eccf1df7e71a99ba47ddbb364a94bd690f)
una funzione definita su
.
Ad ogni punto
del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:[2]
![{\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)))\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)))\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)))\mathbf {e} _{3))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611c30c0291d4f41bde1f17f4dc4d353f9cf04ba)
dove i vettori
appartengono alla base canonica di
.
Si definisce integrale di superficie di
sulla superficie
la scrittura:[3]
![{\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650d077f1d8ccebf8fe09a4f8ecaff22e8495d6c)
In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:
![{\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v))),{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v))),{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)))\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6f51931116efafe8d1f85fc24cd900f8fcebc1)
dove:
![{\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v))),{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v))),{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))))\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07d78cb4fc67b2d0385f7c170febdae172f9524)
è l'elemento di superficie normale a
.
E
.
Se
l'integrale fornisce l'area della superficie:
![{\displaystyle A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ce651df4305ff83b16b857edb221adea93c108)
Integrale di 2-forme su 2-superfici in
Sia
una 2-superficie in
con dominio di parametrizzazione
. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni
,
e
di due variabili indipendenti
e
:
![{\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480d1bd5a643cc0354b0443512bfd6cd1e26b7f8)
Sia:
![{\displaystyle \omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db23a07721687ad8a47c7060b186b49dc7bae7c1)
una 2-forma definita su
.
Si definisce integrale di
su
Interpretando la 2-forma
come un campo vettoriale
definito su
si ha:
![{\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea18d4e06dc83090611a22fd7c3b99ccdd7580df)
dove
è il versore normale alla superficie
.
Esempio
Sia
una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni
,
e
di due variabili indipendenti
e
:
![{\displaystyle x=x(\xi \ ,\eta )\qquad y=y(\xi \ ,\eta )\qquad z=z(\xi \ ,\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea20a9a5507985649d00feffcd8b61a634ca26a)
e sia
funzione continua dei punti
di detta superficie. Decomposta
in modo arbitrario in elementi
, si fissi su ciascuno di questi un punto
, e si formi il prodotto
del valore di
per ogni
. La somma di tali prodotti è indicata con
. Facendo aumentare indefinitamente il numero
degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree
, se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione
sulla superficie
. Viene indicato con
oppure con
.
La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana
proiezione della superficie
sul piano x-y.
Con lo spianamento della superficie
l'integrale in
si trasforma nel seguente integrale doppio:
![{\displaystyle \iint _{C}f(P)\cdot {\sqrt {1+p^{2}+q^{2))}\cdot \mathrm {d} C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9467c9fc7c6ce7b54dafd23fadf525e16d0382d)
ove
e
, che consente la valutazione dell'integrale di superficie.