In matematica, la funzione K è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale da Neil Sloane e Simon Plouffe, così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali.
La funzione
si può definire come
![{\displaystyle K(z):=(2\pi )^{\frac {-z+1}{2))\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix))+\int _{0}^{z-1}dt\,\ln(t!)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb436882fbababe689573de6adae50c131a5c75c)
essa si può anche esprimere in forma chiusa come:
![{\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fbdf9734f7e2a7e05c26bd0bf87f4423791115)
mediante derivate della funzione zeta di Riemann
e della funzione zeta di Hurwitz
; qui si intende precisamente che sia
![{\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\equiv \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds))\right]_{s=a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aada00e5aa3e969f095cfebc6ee5e0cd6975ff10)
La funzione
è collegata strettamente alla funzione Gamma e alla funzione G di Barnes; per argomenti
interi naturali si ha
![{\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1)){G(n))).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06503f21524b9126fa9f64e18f1fce5a78551956)
Più concretamente possiamo scrivere
![{\displaystyle K(n)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e93441ad69271268c0c7265320c34eb2bb3a438)
La successione di questi valori, cioè la successione degli iperfattoriali, costituisce la sequenza A002109 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. I valori di questa successione relativi a
sono
- 1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000,
- 55696437941726556979200000, 21577941222941856209168026828800000,
- 215779412229418562091680268288000000000000000
Benoit Cloitre nel 2003 ha dimostrato che
![{\displaystyle {\frac {1}{K(n)))=(-1)^{n}{\mbox{det)){\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{1 \over 2}&{1 \over 4}&{1 \over 8}&\cdots &{1 \over 2^{n))\\-{1 \over 3}&-{1 \over 9}&-{1 \over 27}&\cdots &-{1 \over 3^{n))\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{(-1)^{n} \over n}&{(-1)^{n} \over n^{2))&{(-1)^{n} \over n^{3))&\cdots &{(-1)^{n} \over n^{n))\\\end{vmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68db7e7e5393e97f23d3d774b425e6eca3318479)