Folium di Cartesio per a=1 Il Folium di Cartesio può essere rappresentato dall'intersezione tra una funzione del tipo
f
(
x
,
y
)
=
x
3
+
y
3
−
3
a
x
y
{\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3axy}
e il piano z = 0 Il Folium di Cartesio è una curva di equazione:
x
3
+
y
3
−
3
a
x
y
=
0
{\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}
La curva presenta nell'origine un nodo con tangenti coincidenti con gli assi coordinati.
Nel gennaio 1638 Cartesio , in una lettera a Mersenne , la propose come curva in cui non era applicabile il metodo delle tangenti di Fermat . Nell'agosto dello stesso anno Fermat rispose dimostrando il contrario e chiamando tale curva "feuille" (foglia). I primi però a chiamarla "folium di Cartesio" furono De Moivre e d'Alembert rispettivamente su "Storia dell´Accademia delle Scienze" e su "Enciclopedia metodica".
Le coordinate parametriche sono:
{
x
=
3
a
t
1
+
t
3
y
=
3
a
t
2
1
+
t
3
{\displaystyle \left\((\begin{array}{ll}x=\displaystyle {\frac {3at}{1+t^{3))}\\y=\displaystyle {\frac {3at^{2)){1+t^{3))}\end{array))\right.}
L'equazione polare è:
r
=
3
a
sec
(
θ
)
tan
(
θ
)
1
+
tan
3
(
θ
)
=
3
a
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
cos
3
(
θ
)
+
sin
3
(
θ
)
{\displaystyle r={\dfrac {3a\sec(\theta )\tan(\theta )}{1+\tan ^{3}(\theta )))={\dfrac {3a\sin(\theta )\cos(\theta )}{\cos ^{3}(\theta )+\sin ^{3}(\theta )))}
Cartesio, folium di , in Enciclopedia della Matematica , Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 2013.
(EN ) Eric W. Weisstein, Folium di Cartesio , su MathWorld , Wolfram Research.
IL FOLIUM DI CARTESIO , su progettomatematica.dm.unibo.it . URL consultato il 22/02/2010 .
Richard L. Amoroso: Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity (PDF ), su mindspring.com . URL consultato il 31 agosto 2010 (archiviato dall'url originale il 29 febbraio 2012) .
"Folium of Descartes" at MacTutor's Famous Curves Index , su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk .