In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.
Sia
un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione
tale che:
![{\displaystyle T\colon X\to X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/403f0e2b5f3e13dc4fd6f1bed6fd2d65b042c1c9)
L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.
Si indica invece con
l'insieme degli endomorfismi di
Se un insieme
è dotato di un'operazione binaria
, che associa a due elementi
e
un altro elemento
di
un endomorfismo di
è una funzione
tale che
![{\displaystyle f(x*y)=f(x)*f(y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494d906c73a7343df8d863194e4a1737d0347d82)
per ogni
e
in
L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.
Ad esempio, la funzione
dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione
invece no.
Se
è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di
è un'applicazione lineare
da
in sé stesso
Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di
se esistono in
dei sottospazi
di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi
tali che
. La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di
[1].
- Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
- La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
- La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su
![{\displaystyle \mathrm {End} (X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/422c355d2a86dc6d412e0d6d4485c3ad7d9b5121)
- Definiamo determinante di un endomorfismo
su uno spazio vettoriale di dimensione finita:
, ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base ![{\displaystyle B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eccf5bca7cdc1fa4439af2d31831db6bde00473)
- Definiamo traccia di un endomorfismo
su uno spazio vettoriale di dimensione finita:
, ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base ![{\displaystyle B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eccf5bca7cdc1fa4439af2d31831db6bde00473)
- ^ M. Landucci, Argomenti di geometria, Firenze, 1996, p. 222.
- Endomorfismo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- Endomorfismo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
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- endomorfismo, su sapere.it, De Agostini.
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- Endomorfismo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
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- (EN) Eric W. Weisstein, Endomorphism, su MathWorld, Wolfram Research.
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- (EN) Endomorphism, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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- Endomorfismo, in Grande Dizionario di Italiano, Garzanti Linguistica.