Distribuzione di Bernoulli ![{\displaystyle {\mathcal {B))(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae606fd4d7ea1eff14552635b3e6add9b0ffb41) |
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Funzione di distribuzione discreta
![Funzione di densità di una variabile casuale normale](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Bernoulli_Distribution.PNG/325px-Bernoulli_Distribution.PNG)
Tre esempi di distribuzioni di Bernoulli:
e ![{\displaystyle P(x=1)=0,8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f59aeab5766ebc3f55eb3ab32b305e8d13773d)
e ![{\displaystyle P(x=1)=0,2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e502ecdba839cf442fea88979d946cb25d0308b)
e ![{\displaystyle P(x=1)=0,5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b42f55e6565e4bc9c4266ff4f55f60d547f14f)
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Funzione di ripartizione
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Parametri | ![{\displaystyle p\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c3a52aa7b2d00227e85c641cca67e85583c43c)
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Supporto |
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Funzione di densità |
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Funzione di ripartizione |
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Valore atteso |
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Varianza |
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Indice di asimmetria |
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Curtosi |
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Entropia |
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Funzione generatrice dei momenti |
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Funzione caratteristica |
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Manuale |
In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori:
e
,[1] detti anche fallimento e successo. Prende il nome dallo scienziato svizzero Jakob Bernoulli (1654-1705).
Una variabile aleatoria discreta
ha distribuzione di Bernoulli
di parametro
se e solo se
![{\displaystyle P(X=1)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7179ae7170cf2a139040fea73248932f58ef002f)
![{\displaystyle P(X=0)=q=1-p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8196c19a1efb84b2334a563701b47c67442ead)
ossia
per ![{\displaystyle i=0,1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d08b9efc7da1b72148c91edd25f35cd909336d)
Il valore atteso è
![{\displaystyle \mathrm {E} (X)=0\cdot p^{0}(1-p)^{1-0}+1\cdot p^{1}(1-p)^{1-1}=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a42c6df8128af2c62b0e896fab839bb3e9d7fe7)
e la varianza è
![{\displaystyle \mathrm {Var} (X)=pq=p(1-p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a925ff6252c522b5399a600688d9b52ecc7afd)
Un processo di Bernoulli è una successione di variabili aleatorie indipendenti
di uguale distribuzione di Bernoulli
, dette prove di Bernoulli. Da tale processo si possono definire le seguenti ulteriori leggi. La distribuzione binomiale descrive la probabilità del numero di successi in
prove di Bernoulli, ovvero della variabile aleatoria
![{\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a988ed5d7018c6e402a6cf610d09eef778ec9c07)
La distribuzione geometrica e più in generale la distribuzione di Pascal descrivono il tempo del primo e del
-esimo successo rispettivamente, ovvero le variabili aleatorie
e
definite come
![{\displaystyle T_{k}=\min\{t\colon S_{t}=k\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854bf0e32d8095b756def3327cfe160525b06dfb)
- Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduzione alla statistica, McGraw-Hill, 1991.
- Paolo Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, 2ª ed., McGraw-Hill, 1998, ISBN 9788838607370.
- Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.
- Bernoulli, distribuzione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) standardized random variable, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Bernoulli, su MathWorld, Wolfram Research.
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