In matematica, e più specificamente in teoria degli ordini, per algebra di incidenza si intende un'algebra associativa definita opportunamente per un qualsiasi insieme parzialmente ordinato localmente finito e un qualsiasi anello commutativo (dotato di unità).
Denotiamo con un anello commutativo; i suoi elementi qui verranno detti scalari.
Un poset si dice localmente finito se ciascuno dei suoi intervalli
ha cardinalità finita.
L'algebra di incidenza di P ed R ha come sostegno l'insieme delle funzioni f che associano ad ogni intervallo non vuoto [a, b] di P uno scalare f(a, b); denoteremo questo insieme con F. Su questo insieme definiamo la somma e la moltiplicazione per uno scalare componente per componente. Munita di tali operazioni F costituisce un modulo. Per avere un'algebra occorre definire una "moltiplicazione" tra due elementi f e g di F; per questa operazione binaria si assume una convoluzione definendo
Va osservato che il carattere localmente finito di P rende sempre possibile effettuare la precedente somma. Un'algebra di incidenza risulta finito-dimensionale se e solo se P è un insieme finito.
Un'algebra di incidenza è analoga a un'algebra di gruppo; in effetti sia l'algebra di gruppo che l'algebra di incidenza sono casi particolari di un'algebra categorica, definita analogamente; essendo gruppi e poset tipi particolari di categorie.
L'elemento identità moltiplicativa dell'algebra di incidenza è la funzione delta, definita da
La funzione zeta di un'algebra di incidenza è la funzione costante ζ(a, b) = 1 per ogni intervallo [a, b]. La moltiplicazione per ζ è analoga all'integrazione.
Si può mostrare che ζ è invertibile nell'algebra di incidenza (rispetto alla convoluzione definita sopra). Generalmente un membro h dell'algebra di incidenza è invertibile se e solo se h(x, x) è invertibile per ogni x. L'inverso moltiplicativo della funzione zeta è la funzione di Möbius μ(a, b); ogni valore di μ(a, b) è un multiplo intero di 1 nell'anello base.
La funzione di Möbius può essere anche definita direttamente, dalla seguente relazione:
Moltiplicare per μ è analogo alla differenziazione ed è chiamata inversione di Möbius.
Un poset si dice limitato se e solo se possiede un elemento minimo ed un elemento massimo; qui li denotiamo con 0 ed 1 rispettivamente, in modo da non confonderli con gli elementi 0 e 1 dell'anello degli scalari. La caratteristica di Eulero di un poset finito e limitato è μ(0,1); questo scalare è sempre un intero. Questa nozione generalizza quella di caratteristica di Eulero classica.
Ogni membro di un'algebra di incidenza che assegna lo stesso valore a due intervalli che siano isomorfi tra di loro è un membro dell'algebra di incidenza ridotta. Essa è una sottoalgebra dell'algebra di incidenza che chiaramente contiene l'identità dell'algebra e la funzione zeta.
Ogni elemento dell'algebra ridotta che sia invertibile nell'algebra originale ha il suo inverso nell'algebra ridotta. Conseguentemente, la funzione di Möbius è sempre un elemento dell'algebra ridotta. Le algebre ridotte aiutano la comprensione della teoria delle funzioni generatrici, come si allude nell'esempio precedente sui numeri naturali.