Outra definición de centroide dun plano ou domínio espacial é a de ser un punto de equilíbrio para unha determinada medida nese domínio. Corresponde ao centro de simetría cando o domínio ten dito centro de simetría. A súa existéncia e exclusividade son garantidas cando o dominio for de medida finita.[3].
En xeometría, adóitase asumir unha densidade de masa uniforme, nese caso o baricentro e o centro de masas coinciden co centroide[4]. Informalmente, pódese entender como o punto no que un obxecto (con masa uniformemente distribuída) podería estar perfectamente equilibrado na punta dun alfinete.[5]
En xeografía, o centroide dunha proxección radial dunha rexión da superficie terrestre ata o nivel do mar é o centro xeográfico da rexión.
O centroide xeométrico dun obxecto convexo sempre reside no obxecto. Un obxecto non convexo pode ter un centroide que estea fóra da propia figura. O centroide dun anel ou dunha cunca, por exemplo, atópase no oco central do obxecto.
Se o centroide está definido, é un punto fixo de todas as isometrías do seu grupo de simetría. En particular, o centroide xeométrico dun obxecto atópase na intersección de todos os seus hiperplanos de simetría. O centroide de moitas figuras (polígono regular, poliedro regular, cilindro, rectángulo, rombo, círculo, esfera, elipse, elipsoide, superelipse, superelipsoide, etc.) pódese determinar só por este principio.
Polo mesmo motivo, o centroide dun obxecto con simetría de translación non está definido (ou está fóra do espazo circundante), porque unha translación non ten punto fixo.
O centroide dun conxunto finito de puntos en é [1]Este punto minimiza a suma das distancias euclidianas ao cadrado entre el mesmo e cada punto do conxunto.
O centroide dunha figura plana pódese calcular dividíndoo nun número finito de figuriñas máis sinxelas calculando o centroide e zona de cada parte, e despois calculando para as coordenadas x e y
Por exemplo, a figura seguinte (a) divídese facilmente nun cadrado e nun triángulo, ambos con área positiva; e un buraquiño circular, con área negativa (b).
(a) 2D Obxecto
(b) Obxecto descrito utilizando elementos máis sinxelos
(c) Centroides dos elementos do obxecto
O centroide de cada parte pódese atopar nunha lista de centroides de formas simples (c). Logo, o centroide da figura é a media ponderada dos tres puntos. A posición horizontal do centroide, dende o bordo esquerdo da figura é A posición vertical do centroide atópase do mesmo xeito.
A mesma fórmula vale para calquera subconxunto de para calquera dimensión coas áreas substituídas polas -medidas dimensionais das pezas.
O centroide dun subconxunto de tamén se pode calcular mediante a fórmula
onde as integrais son tomadas sobre todo o espazo e é a función indicadora do subconxunto de se e en caso contrario.[7] Teña en conta que o denominador é simplemente a medida do conxunto Esta fórmula non se pode aplicar se o conxunto ten medida cero, ou se calquera das integrais diverxe.
O centroide ou baricentro dun triángulo é o punto de intersección das súas medianas (as liñas que unen cada vértice co punto medio do lado oposto).[6] O centroide divide cada unha das medianas na relación é dicir está situado da distancia de cada lado ao vértice oposto (ver as figuras laterais).[11][12] As súas coordenadas cartesianas son as medias das coordenadas dos tres vértices. É dicir, se os tres vértices o son e a continuación, o centroide (indicado aquí pero denotado máis habitualmente en xeometría do triángulo ) é
En coordenadas triliniares o centroide pódese expresar de calquera destes xeitos equivalentes en termos de lonxitudes dos lados e ángulos vértices :[13]
O centroide tamén é o centro físico de masas se o triángulo está feito dunha folla uniforme de material.
O conxugado isogonal do centroide dun triángulo é o seu punto simediano.
O centroide dun polígono pechado non autointersecante definido por vértices é o punto [14]
e onde é a área con signo do polígono,[14] como se describe pola fórmula da área de Gauss:
Nestas fórmulas, suponse que os vértices están numerados por orde de aparición ao longo do perímetro do polígono; ademais, o vértice suponse que é o mesmo que pechando o polígono.
Un tetraedro é un obxecto no espazo tridimensional que ten como caras catro triángulos. Un segmento de liña que une un vértice dun tetraedro co centroide da cara oposta chámase mediana, e un segmento de liña que une os puntos medios de dúas arestas opostas chámase bimediana. Polo tanto, hai catro medianas e tres bimedianas. Estes sete segmentos de liña reúnense no centroide do tetraedro.[15] As medianas divídense polo centroide na relación O centroide dun tetraedro é o punto medio entre o seu punto de Monge e o circuncentro (centro da esfera circunscrita). Estes tres puntos definen a recta de Euler do tetraedro que é análoga á recta de Euler dun triángulo.
Estes resultados xeneralízanse a calquera simplex -dimensional do seguinte xeito. Se o conxunto de vértices dun simplex é entón considerando os vértices como vectores, o centroide é
O centroide xeométrico coincide co centro de masas se a masa se distribúe uniformemente por todo o simplex ou se concentra nos vértices como masas iguais.
Altshiller-Court, Nathan (1925). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.). New York: Barnes & Noble. LCCN52013504.