Riemann-en geometria edo geometria Riemanndarra Riemann-en barietateak aztertzen dituen geometria diferentzialaren adarra da. Riemannen barietateak Riemannen metrikan oinarritutako barietateak dira. Espazio tangentearen puntuetan biderkadura eskalarra dute, puntuz puntu leun aldatuz doana. Horrek, angeluaren, arku-luzeraren, gainazalen azaleraren eta bolumenaren nozio lokalak ematen ditu. Horietatik, beste kantitate global batzuk erator daitezke integrala aplikatuz.
Riemann-en geometria Bernhard Riemannek "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz") izenburuarekin eman zuen inaugurazio-hitzaldiarekin hasi zen.[1][2] R3-ko gainazalen geometria diferentzialaren orokortze zabal eta abstraktua da. Riemannen-en geometriaren garapenak gainazalen geometria eta haien geodesikoen portaera sistetizatu ahal izatea ekarri zuen, eta dimentsio handiagoko barietate diferentziagarriak aztertzeko erabil daitezkeen teknikak aplikatu ahal izatea. Horri esker, Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorra formulatu ahal izan zen. Gainera, eragin handia izan zuen talde-teorian eta errepresentazioaren teorian, eta topologia aljebraikoaren eta topologia diferentzialaren garapena bultzatu zituen.
Riemannen geometria Bernhard Riemannek aurkeztu zuen lehen aldiz XIX. mendean. Puntu batetik bestera propietate metriko desberdinak dituzten geometriak aztertzen ditu, baita geometria ez-euklidestar mota estandarrak ere.
Barietate leunek Riemannen metrika onartzen dute, eta horrek, maiz, topologia diferentzialeko problemak ebazten laguntzen du. Halaber, konplexuagoak diren barietate sasi-Riemanndarrak (edo, erdi-Riemandarrak) aztertzeko ere balio du. Egitura horiek lau dimentsiotan, erlatibitate orokorraren teoriaren objektu nagusiak dira. Riemannen geometriaren beste orokortze bat Finsler-en geometria da.
Geometria diferentzialak eta kristal erregularretan sortzen diren akatsen egitura matematikoek badute halako antzekotasun bat haien artean. Dislokazioek (Taylor's dislocation) eta desklinazioek (disclination) bihurdurak eta kurbadurak eragiten dituzte.[3][4][5]
Sarrera moduan, honakoak irakurtzea komeni da:
Jarraian, Riemannen geometriako teorema klasikoen zerrenda bat aurkezten da. Formulazioaren garrantziaren arabera aukeratuak izan dira. Emaitza gehienak Jeff Cheeger-en eta D. Ebin-enen monografia klasikoan aurki daitezke.[6]
Ondorengo teorema guztietan, espazioaren portaera lokalen bat suposatzen da. Normalean kurbaduraren suposizioa eginez formulatzen dira eta horri esker, espazioaren egitura globalari buruzko informazioa lortzen da, hala nola, barietatearen topologia motari buruzko informazioa edo nahi adina distantzia handira dauden puntuen portaerari buruzko informazioa.